Forme sesquilinéaire

Soit E un ℂ-espace vectoriel, une application φ de E dans ℂ est une forme semi-linéaire[1] (ou antilinéaire) si elle respecte l'addition et presque la multiplication par un scalaire : pour tous x, y de E, pour tout λ de ℂ :

${\displaystyle \varphi (x+\lambda y)=\varphi (x)+{\overline {\lambda }}\varphi (y)\,}$

où λ est le conjugué de λ.

Une application (ou forme) semi-linéaire vérifie :

${\displaystyle f({\rm {i}}x)=-{\rm {i}}f(x),}$

ce qui justifie l'autre terme utilisé : application anti-linéaire.

Les conventions qui suivent imposent un choix de l'argument qui est linéaire. Le choix ci-dessous (forme sesquilinéaire à gauche : première variable semi-linéaire, deuxième variable linéaire) est utilisé par tous les physiciens[2], ceci étant dû à l'origine à l'utilisation de la notation bra-ket (peut-être pas universel), mais le choix opposé est courant en mathématiques[3] depuis les années 1950.

Soit E et F des espaces vectoriels complexes, une application f : E × F → ℂ est une forme sesquilinéaire à gauche si :

a) Elle est linéaire à droite : pour tout x de E, y, y' de F, pour tout λ de ℂ :

${\displaystyle f(x,y+\lambda y')=f(x,y)+\lambda f(x,y')\,}$

b) Elle est semi-linéaire à gauche, ce qui signifie que pour tout x, x' de E et y de F, pour tout λ de ℂ :

${\displaystyle f(x+\lambda x',y)=f(x,y)+{\overline {\lambda }}f(x',y)}$.

Les formes sesquilinéaires (à gauche) constituent un sous-espace vectoriel complexe de l'espace des applications de E × F dans ℂ.

Une application f : E × F → ℂ est une forme sesquilinéaire à droite, si et seulement si, l'application g : F × E → ℂ, définie par g (x, y) = f (y, x) est sesquilinéaire à gauche.

Une forme hermitienne (ou sesquilinéaire hermitienne) à gauche (resp. à droite) sur un espace vectoriel complexe E est une forme sesquilinéaire à gauche (resp. à droite, suivant la convention choisie) sur E × E qui vérifie la propriété de symétrie hermitienne :

Pour tous x et y de E, ${\displaystyle f(y,x)={\overline {f(x,y)}}}$

En particulier, pour tout vecteur x de E : ${\displaystyle f(x,x)={\overline {f(x,x)}}}$, donc ${\displaystyle f(x,x)}$ est un nombre réel.

Réciproquement, une forme sesquilinéaire f , telle que f(x, x) est réel pour tout vecteur x, est hermitienne[4].

Les formes hermitiennes (à gauche) constituent un sous-espace vectoriel réel de l'espace des formes sesquilinéaires (à gauche).

Une forme hermitienne positive est une forme sesquilinéaire telle que :

pour tout x de E, ${\displaystyle f(x,x)\in \mathbb {R} ^{+}}$,

elle est alors hermitienne, d'après la caractérisation ci-dessus.

Une forme hermitienne définie est une forme hermitienne telle que

pour tout x de E, ${\displaystyle f(x,x)=0\,}$ implique ${\displaystyle x=0\,}$

Une forme hermitienne non dégénérée est une forme hermitienne telle que :

pour tout x de E, si ${\displaystyle f(x,y)=0\,}$ pour tout y de E, alors ${\displaystyle x=0\,}$

Toute forme hermitienne définie est donc non dégénérée. Pour une forme hermitienne positive, la réciproque est vraie grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz : toute forme hermitienne positive non dégénérée est définie.

Une forme hermitienne définie positive (ou positive non dégénérée) est encore appelée produit scalaire hermitien.

Soit K un corps et σ un automorphisme d'ordre 2 (c'est-à-dire involutif) et V un espace vectoriel sur le corps K. Une forme sesquilinéaire à droite est une application h : V × V → K telle que :

1. ${\displaystyle \forall u,v,w\in V\quad h(u+v,w)=h(u,w)+h(v,w)}$
2. ${\displaystyle \forall u,v,w\in V\quad h(u,v+w)=h(u,v)+h(u,w)}$
3. ${\displaystyle \forall \alpha \in K\quad \forall u,v\in V\quad h(\alpha u,v)=\alpha h(u,v)}$
4. ${\displaystyle \forall \alpha \in K\quad \forall u,v\in V\quad h(u,\alpha v)=\sigma (\alpha )h(u,v).}$

Autrement dit, h est linéaire à gauche et semi-linéaire à droite.

Si de plus la forme vérifie la propriété suivante, dite de symétrie hermitienne : ${\displaystyle \forall u,v\in V\quad h(v,u)=\sigma (h(u,v))}$ la forme sesquilinéaire est une forme hermitienne et les conditions 2) et 4) sont automatiquement réalisées dès que les conditions 1) et 3) le sont.

Soient A un anneau non nécessairement commutatif et U et V deux A-modules à gauche. On considère un antiautomorphisme σ sur A, c'est-à-dire une bijection sur A, vérifiant, pour tous α et β de A, σ(α + β) = σ(α) + σ(β) et σ(αβ) = σ(β)σ(α).

Une forme sesquilinéaire à droite sur U × V est une application h de U × V dans A, linéaire à gauche et semi-linéaire à droite, c'est-à-dire vérifiant[5] :

1. ${\displaystyle \forall u,v\in U,\quad \forall w\in V\quad h(u+v,w)=h(u,w)+h(v,w)}$
2. ${\displaystyle \forall u\in U,\quad \forall v,w\in V\quad h(u,v+w)=h(u,v)+h(u,w)}$
3. ${\displaystyle \forall \alpha \in A\quad \forall u\in U\quad \forall v\in V\quad h(\alpha u,v)=\alpha h(u,v)}$
4. ${\displaystyle \forall \alpha \in A\quad \forall u\in U\quad \forall v\in V\quad h(u,\alpha v)=h(u,v)\sigma (\alpha ).}$