Notation bra-ket

Soit un vecteur de l’espace de Hilbert des états ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$. Il est dénoté ${\displaystyle |u\rangle }$ et s'appelle vecteur-ket ou ket.

Les kets forment un espace vectoriel complexe. Ainsi, si ${\displaystyle \lambda _{1}}$ et ${\displaystyle \lambda _{2}}$ sont des nombres complexes quelconques et ${\displaystyle |u_{1}\rangle }$ et ${\displaystyle |u_{2}\rangle }$ sont deux kets, alors

${\displaystyle |v\rangle =\lambda _{1}\cdot |u_{1}\rangle +\lambda _{2}\cdot |u_{2}\rangle }$

est également un ket.

Plus généralement, si ${\displaystyle |x\rangle }$ dépend d’un indice continu ${\displaystyle x}$, et si ${\displaystyle f}$ est une fonction complexe normalisée sur ${\displaystyle [x_{1}\,,x_{2}]}$, alors,

${\displaystyle |u\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)|x\rangle \mathrm {d} x}$

est également un ket.

On peut définir un produit scalaire pour les vecteurs-kets, mais pour ce faire, il faut tout d'abord introduire les vecteurs duaux aux kets : les bras.

L'espace dual des états quantiques, dénoté ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}}$, est l'espace vectoriel des fonctionnelles linéaires sur les kets de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$. (Rappel : une fonctionnelle linéaire agit linéairement sur un espace vectoriel et renvoie un scalaire.) Les éléments de ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}}$ sont les bras et sont dénotés par ${\displaystyle \langle u|}$.

Puisque les bras forment un espace vectoriel, une combinaison linéaire à coefficients complexes de bras est également un autre bra.

Il est possible de définir un produit scalaire ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ de deux kets ${\displaystyle |u\rangle }$ et ${\displaystyle |v\rangle }$ qui correspond au produit scalaire des fonctions d'ondes correspondantes :

${\displaystyle (|u\rangle ,|v\rangle )=\langle u|v\rangle }$

Comme tout produit scalaire complexe, ce produit est sesquilinéaire, c’est-à-dire que :

${\displaystyle \langle \phi \mid \lambda \cdot \psi _{1}+\mu \cdot \psi _{2}\rangle =\lambda \cdot \langle \phi \mid \psi _{1}\rangle +\mu \cdot \langle \phi \mid \psi _{2}\rangle }$ ,

et que :

${\displaystyle \langle \lambda \cdot \phi _{1}+\mu \cdot \phi _{2}\mid \psi \rangle =\lambda ^{*}\cdot \langle \phi _{1}\mid \psi \rangle +\mu ^{*}\cdot \langle \phi _{2}\mid \psi \rangle }$.

(L'expression ${\displaystyle c^{*}}$ signifie que l'on prend le complexe conjugué de ${\displaystyle c}$ — voir Nombre complexe.)

Ceci implique donc une correspondance bra → ket (notons que l'inverse n'existe pas forcément) qui est antilinéaire :

${\displaystyle \lambda _{1}|\phi _{1}\rangle +\lambda _{2}|\phi _{2}\rangle \rightarrow {\lambda _{1}}^{*}\langle \phi _{1}|+{\lambda _{2}}^{*}\langle \phi _{2}|}$

Une norme peut également être définie pour un ket ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle \lVert |\psi \rangle \rVert ^{2}=\langle \psi |\psi \rangle }$.

Cette définition est consistante avec la définition mentionnée plus haut en termes des fonctions d'onde.

L’écriture de la norme permet d’écrire un bra sous forme de composantes dans l’espace vectoriel dual ${\displaystyle \varepsilon ^{*}}$ de même dimension que l’espace vectoriel ${\displaystyle \varepsilon }$ des états :

${\displaystyle \dim {(\varepsilon )}=\dim {(\varepsilon ^{*})}=N}$,

${\displaystyle \langle \phi |=\sum _{n=1}^{N}{\phi _{n}\cdot \langle u_{n}|}}$,

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{n=1}^{N}{\psi _{n}\cdot |u_{n}\rangle }}$.

On représente aussi le bra sous la forme d’un vecteur ligne, une suite de nombres (les composantes) rangés horizontalement :

${\displaystyle \langle \phi |={\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}_{\varepsilon ^{*}}={\begin{bmatrix}\phi _{1}&\phi _{2}&\cdots &\phi _{N}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\langle u_{1}|\\\langle u_{2}|\\\vdots \\\langle u_{N}|\end{bmatrix}}}$

Le produit matriciel ci-dessus est commutatif, car la matrice ligne ne contient que des scalaires, la matrice colonne que des bras unitaires, et le produit d’un scalaire et d’un bra est commutatif, et le produit matriciel d’une matrice colonne et d’une matrice ligne, s'il est défini, est toujours commutatif. Il en est de même du produit matriciel d’une matrice colonne de scalaires et d’une matrice ligne de kets.

Il est alors possible d’écrire le produit scalaire d'un bra et d’un ket sous forme du produit de quatre matrices : deux matrices scalaires et des matrices de bras unitaires ou de kets unitaires. En permutant les matrices scalaires, il reste à déterminer le produit de matrices de bras unitaires et de kets unitaires. Or, ces matrices unitaires sont transposées et conjuguées, ce qui signifie que leur produit se réduit au produit de leurs normes. Comme par définition, la norme des matrices unitaires est 1, ces matrices unitaires peuvent être éliminées du produit scalaire. La définition même du produit scalaire nous permet alors de l'écrire simplement en termes de produit de deux matrices scalaires de la façon suivante :

${\displaystyle \langle \phi \mid \psi \rangle =\left({\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}_{\varepsilon ^{*}},{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\vdots \\\psi _{N}\end{pmatrix}}_{\varepsilon }\right)={\begin{bmatrix}\phi _{1}&\phi _{2}&\cdots &\phi _{N}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\vdots \\\psi _{N}\end{bmatrix}}=\sum _{n=1}^{N}{\phi _{n}\cdot \psi _{n}}}$

• Edgard Elbaz, Quantique, Paris, Ellipses, 1995, 506 p. (ISBN 2-7298-9561-2).

• Représentation X
• Représentation P