En mécanique quantique et dans un espace à une dimension, la représentation P ou réalisation-P est la représentation dans laquelle l'opérateur d'impulsion
appliqué au vecteur propre de cette représentation s'écrit :
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}\left|p_{x}\right\rangle =p_{x}\left|p_{x}\right\rangle }](https://img.franco.wiki/i/abc210d33a7ac3c2c2ebae830f3f38e20fb09172.svg)
Comme l'opérateur
est hermitien, on peut montrer pour un vecteur d'état que :
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}\left|\psi \right\rangle =p_{x}\left|\psi \right\rangle }](https://img.franco.wiki/i/447d804790eec44238181d50cd1e03c6f969d16f.svg)
Dans cette représentation, l'opérateur de position
dans l'espace à une dimension est tel que :
![{\displaystyle \langle p_{x}|\mathbf {\hat {x}} \left|\psi \right\rangle =\langle p_{x}|i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle }](https://img.franco.wiki/i/fe375dee998c9d8eda24dae87484935a540e9d19.svg)
Ce qui se réécrit de façon allégée dans la littérature :
![{\displaystyle \mathbf {\hat {x}} \left|\psi \right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle }](https://img.franco.wiki/i/6d1e49106c691d5d85781ebb0cc81c9236a3d127.svg)
Il faut distinguer cette représentation de la représentation X dans laquelle l'opérateur de position s'écrit simplement
.
Commutateur [X,P]
Le commutateur de
et
est défini par :
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}}](https://img.franco.wiki/i/e78dffe18faa5055dad79e9a53dce828ecd30d2c.svg)
On peut calculer sa valeur en l'appliquant à un vecteur d'état :
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle ={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} \left|\psi \right\rangle -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}\left|\psi \right\rangle }](https://img.franco.wiki/i/f284a774f48eed3593ae27c86a39edb2ce179d6d.svg)
En réalisation P, cela s'écrit :
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}(p_{x}\left|\psi \right\rangle )-i\hbar p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle }](https://img.franco.wiki/i/b98c8882f6962665d309841da22056255a3cd1a1.svg)
La dérivée d'un produit
étant
, cela donne :
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar (({\frac {\partial }{\partial p_{x}}}p_{x})\left|\psi \right\rangle +p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle -p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle )}](https://img.franco.wiki/i/1637ddf836aaa404e394ffc215a42671274f5165.svg)
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar (1)\left|\psi \right\rangle =i\hbar \left|\psi \right\rangle }](https://img.franco.wiki/i/531413c770617f0acfc2c1ef6ea8e32f94ced21e.svg)
La valeur du commutateur de
et
est donc :
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]=i\hbar }](https://img.franco.wiki/i/e929428d86707f885a6e75007aaedd35cd69e6c4.svg)
Cette valeur, indépendante de la base, est liée au principe d'incertitude de Heisenberg.