Base orthonormée

Soient A_n un espace affine euclidien associé à l'espace vectoriel euclidien E_n et O un point quelconque de A_n, alors un repère affine

${\displaystyle {\mathcal {R}}=(\ O,{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n})}$

est dit orthonormal si sa base associée ${\displaystyle {\mathcal {B}}=({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n})}$ est elle-même orthonormale.

En géométrie dans l'espace, la base est en général notée ${\displaystyle ({\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})}$ au lieu de ${\displaystyle ({\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},{\vec {e_{3}}})}$.

Si la base est directe, alors ${\displaystyle {\vec {k}}}$ est le produit vectoriel de ${\displaystyle {\vec {i}}}$ et de ${\displaystyle {\vec {j}}}$ (c'est-à-dire ${\displaystyle {\vec {k}}={\vec {i}}\wedge {\vec {j}}}$).

À partir d'une base quelconque d'un espace euclidien, le procédé de Gram-Schmidt fournit une méthode constructive pour obtenir une base orthonormale de cet espace. Notamment, on peut affirmer :

Dans tout espace euclidien de dimension non nulle, il existe des bases orthonormales.

En appliquant ce résultat à l'orthogonal de l'espace engendré par une famille orthonormale de p vecteurs de E_n, on établit le théorème de la base orthonormale incomplète :

Toute famille orthonormale de vecteurs d'un espace euclidien peut être complétée en une base orthonormale de cet espace.

L'existence de bases orthonormales permet d'établir que l'infinité de structures euclidiennes dont peut être muni un espace vectoriel — avec des notions d'orthogonalité différentes — sont toutes isomorphes entre elles[3].

Soit ${\displaystyle {\mathcal {B}}=({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n})}$ une base orthonormale de E_n.

La décomposition d'un vecteur de E_n dans cette base est donnée par :

${\displaystyle \forall {\vec {x}}\in E_{n},{\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}({\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {x}}){\vec {e}}_{i}}$.

L'expression du produit scalaire de deux vecteurs de E_n est alors donnée par :

${\displaystyle \forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in E_{n},({\vec {x}}\cdot {\vec {y}})=\sum _{i=1}^{n}({\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {x}})({\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {y}})}$.

L'expression du carré de la norme d'un vecteur de E_n est donc :

${\displaystyle \forall {\vec {x}}\in E_{n},\|{\vec {x}}\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}({\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {x}})^{2}}$.

Ces trois propriétés sont en fait équivalentes entre elles, et équivalentes au fait que la famille ${\displaystyle {\mathcal {B}}=({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n})}$ soit une base orthonormale de E_n.

• Si u est un endomorphisme de E_n, sa matrice dans la base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est :${\displaystyle M=[({\vec {e}}_{i}\cdot u({\vec {e}}_{j}))]_{1\leq i,j\leq n}.}$Cela permet de caractériser les endomorphismes symétriques ou les automorphismes orthogonaux par leurs matrices dans une base orthonormale : elles sont respectivement symétriques et orthogonales.
• Si E_n est un sous-espace vectoriel d'un espace préhilbertien E, la projection orthogonale ${\displaystyle p({\vec {x}})}$ sur E_n d'un vecteur ${\displaystyle {\vec {x}}}$ de E a pour expression${\displaystyle p({\vec {x}})=\sum _{i=1}^{n}({\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {x}}){\vec {e}}_{i}.}$

Le caractère 1-lipschitzien d'un projecteur orthogonal permet d'en déduire l'inégalité de Bessel, qui comporte une généralisation à une famille orthonormale infinie.

Si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est une base orthonormale et ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ une famille quelconque de E_n, alors

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est une base orthonormale si et seulement si la matrice de la famille ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dans la base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est orthogonale.

Les endomorphismes qui transforment une base orthonormale en une base orthonormale sont donc les automorphismes orthogonaux.