Tenseur (mathématiques)

Soient ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$ deux espaces vectoriels de dimension finie sur un corps commutatif ${\displaystyle \mathbb {K} }$ (en pratique il s'agit souvent de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ mais d'autres corps sont possibles). On note ${\displaystyle E^{*}}$ le dual de ${\displaystyle E}$. Le produit tensoriel de ${\displaystyle E}$ par ${\displaystyle F}$ — noté ${\displaystyle E\otimes _{\mathbb {K} }F}$, ou ${\displaystyle E\otimes F}$ s'il n'y a pas d'ambiguïté sur le corps — est un cas particulier de produit tensoriel de modules. Une définition plus simple[1] peut être ici de le définir comme l'espace vectoriel des formes bilinéaires sur le couple d'espaces vectoriels ${\displaystyle (E^{*},F^{*})}$.

${\displaystyle E\otimes F={\mathcal {L}}_{2}(E^{*}\times F^{*},\mathbb {K} )}$

On rappelle par ailleurs qu'en dimension finie, on assimile sans problème ${\displaystyle E}$ à son bidual ${\displaystyle E^{**}}$. On a donc de même :

${\displaystyle E^{*}\otimes F^{*}={\mathcal {L}}_{2}(E\times F,\mathbb {K} )}$

${\displaystyle E\otimes F^{*}={\mathcal {L}}_{2}(E^{*}\times F,\mathbb {K} )}$

${\displaystyle E^{*}\otimes F={\mathcal {L}}_{2}(E\times F^{*},\mathbb {K} )}$

Dans la théorie des catégories, les ${\displaystyle \mathbb {K} }$-espaces vectoriels (de dimension finie mais on peut généraliser en dimension quelconque) forment un exemple standard de catégorie monoïdale pour le produit tensoriel ainsi défini.

Les espaces vectoriels ${\displaystyle (E\otimes F)\otimes G}$, ${\displaystyle E\otimes (F\otimes G)}$ et ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{3}(E^{*}\times F^{*}\times G^{*},\mathbb {K} )}$ sont canoniquement isomorphes. Cette propriété permet de considérer le produit tensoriel comme associatif et d'assimiler le produit de k espaces de dimensions finies à l'espace des formes k-linéaires sur les espaces duaux. La mise en parenthèse est donc inutile :

${\displaystyle (E\otimes F)\otimes G}$ ${\displaystyle =E\otimes (F\otimes G)}$ ${\displaystyle ={\mathcal {L}}_{3}(E^{*}\times F^{*}\times G^{*},\mathbb {K} )}$

${\displaystyle E_{1}\otimes \cdots \otimes E_{k}}$ ${\displaystyle ={\mathcal {L}}_{k}(E_{1}^{*}\times \cdots \times E_{k}^{*},\mathbb {K} )}$

La dimension d'un produit tensoriel d'espaces est égale au produit des dimensions de tous les espaces.

${\displaystyle \dim(E_{1}\otimes \cdots \otimes E_{k})=\dim(E_{1})\cdots \dim(E_{k})}$

${\displaystyle \mathbb {K} }$ étant un espace vectoriel de dimension 1 sur lui-même, il peut être utilisé dans le produit tensoriel. ${\displaystyle E\otimes \mathbb {K} }$ et ${\displaystyle \mathbb {K} \otimes E}$ sont canoniquement isomorphes à ${\displaystyle E}$. On peut donc considérer ${\displaystyle \mathbb {K} }$ comme une sorte d'élément neutre.

${\displaystyle E\otimes \mathbb {K} =\mathbb {K} \otimes E=E}$

On peut définir la ${\displaystyle k}$-ième puissance tensorielle d'un espace ${\displaystyle E}$, notée ${\displaystyle E^{\otimes k}}$ ou ${\displaystyle \bigotimes _{k}E}$, par :

• pour ${\displaystyle k\geq 2}$, ${\displaystyle E^{\otimes k}=E^{\otimes (k-1)}\otimes E}$ ;
• pour ${\displaystyle k=1}$, en extrapolant les définitions précédentes, ${\displaystyle E^{\otimes 1}={\mathcal {L}}(E^{*},\mathbb {K} )=E^{**}=E}$ ;
• pour ${\displaystyle k=0}$, le choix de ${\displaystyle E^{\otimes 0}=\mathbb {K} }$ permet de généraliser les formules de manière cohérente.

On a par ailleurs les propriétés :

${\displaystyle E^{\otimes k}\otimes E^{\otimes l}=E^{\otimes (k+l)}}$

${\displaystyle (E^{\otimes k})^{\otimes l}=E^{\otimes (kl)}}$

Encore une fois par isomorphisme canonique on a : ${\displaystyle (E_{1}\otimes \cdots \otimes E_{k})^{*}}$ ${\displaystyle =E_{1}^{*}\otimes \cdots \otimes E_{k}^{*}}$

L'espace vectoriel ${\displaystyle {\mathcal {L}}(E,F)}$ des applications linéaires de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle F}$ est canoniquement isomorphe à ${\displaystyle F\otimes E^{*}}$. Plus généralement, l'espace des applications k-linéaires de ${\displaystyle E_{1}\times \cdots \times E_{k}}$ dans ${\displaystyle F}$ est canoniquement isomorphe à ${\displaystyle F\otimes E_{1}^{*}\otimes \cdots \otimes E_{k}^{*}}$. Il est donc possible de confondre ces espaces.

Il existe un isomorphisme entre ${\displaystyle E\otimes F}$ et ${\displaystyle F\otimes E}$. En pratique les assimiler (c'est-à-dire rendre ${\displaystyle \otimes }$ commutatif) n'est cependant pas toujours une bonne chose. C'est en particulier problématique lorsque ${\displaystyle E=F}$. En effet, cette assimilation pourrait dans ce cas amener à croire que le produit tensoriel de deux éléments (décrit ci-dessous) est commutatif, ce qui n'est pas le cas.

Dans la suite de cet article on considérera donc, sauf mention contraire, ${\displaystyle E\otimes F}$ et ${\displaystyle F\otimes E}$ comme deux espaces distincts. Les considérations liées à leur isomorphismes sont abordées dans ce paragraphe.

Soit ${\displaystyle \phi \in E^{*}}$ et ${\displaystyle \psi \in F^{*}}$ deux formes linéaires. On notera ${\displaystyle \phi \otimes \psi }$ l'application définie par :

${\displaystyle \forall u\in E,\forall v\in F,(\phi \otimes \psi )(u,v)=\phi (u)\cdot \psi (v)}$

Il s'agit d'une forme bilinéaire : on a donc ${\displaystyle \phi \otimes \psi \in E^{*}\otimes F^{*}}$. Le produit se généralise facilement aux formes multilinéaires.

Comme en dimension finie ${\displaystyle E=E^{**}}$, tout vecteur ${\displaystyle u}$ (respectivement ${\displaystyle v}$) peut être assimilé à une forme linéaire sur ${\displaystyle E^{*}}$ (respectivement ${\displaystyle F^{*}}$). On définit ainsi de manière générale le produit tensoriel de ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$, noté ${\displaystyle u\otimes v}$, comme forme bilinéaire sur ${\displaystyle E^{*}\times F^{*}}$.

La forme bilinéaire ${\displaystyle \phi \otimes \psi }$ est donc un tenseur appartenant à ${\displaystyle E^{*}\otimes F^{*}}$. La forme bilinéaire ${\displaystyle u\otimes v}$ est quant à elle un tenseur appartenant à ${\displaystyle E\otimes F}$. Les tenseurs peuvent donc être définis (en dimension finie) comme des formes multilinéaires munis d'un produit ${\displaystyle \otimes }$.

• Réciproquement, tout tenseur ${\displaystyle T\in E\otimes F}$ ne s'écrit pas nécessairement comme un produit ${\displaystyle T=u\otimes v}$. En revanche, il peut toujours être décomposé en combinaison linéaire d'éléments de la forme ${\displaystyle u_{i}\otimes v_{j}}$ où ${\displaystyle u_{i}\in E}$ et ${\displaystyle v_{j}\in F}$. C'est-à-dire qu'on peut toujours trouver des familles de vecteurs ${\displaystyle (u_{i})_{i}}$ et ${\displaystyle (v_{j})_{j}}$ et une famille de scalaires ${\displaystyle (T_{ij})_{ij}}$ telles que ${\displaystyle T=\sum _{i,j}T_{ij}\cdot u_{i}\otimes v_{j}}$.
• On note bien que tout vecteur est un type de tenseur particulier (il est toujours assimilable à une forme 1-linéaire) et que tout tenseur fait partie d'un espace vectoriel. L'utilisation du terme tenseur sous-entend l'usage du produit tensoriel. En pratique le terme tenseur est surtout utilisé à propos de produits de vecteurs d'un même espace ${\displaystyle E}$ ou de son dual ${\displaystyle E^{*}}$.

Grâce à l'isomorphisme canonique on peut considérer que le produit tensoriel est associatif. Autrement dit ${\displaystyle (u\otimes v)\otimes w=u\otimes (v\otimes w)}$. De plus on peut voir le tenseur ${\displaystyle u\otimes v\otimes w}$ comme une forme trilinéaire : ${\displaystyle (u\otimes v\otimes w)(x,y,z)=u(x)\cdot v(y)\cdot w(z)}$. D'une manière générale si on se donne ${\displaystyle k}$ vecteurs ${\displaystyle u_{i}\in E_{i}}$, le tenseur ${\displaystyle u_{1}\otimes \cdots \otimes u_{k}}$ est un élément de ${\displaystyle E_{1}\otimes \cdots \otimes E_{k}}$. C'est donc une forme ${\displaystyle k}$-linéaire.

Si ${\displaystyle u\in E}$ et ${\displaystyle v\in E}$, les tenseurs ${\displaystyle u\otimes v}$ et ${\displaystyle v\otimes u}$ appartiennent alors tous les deux au même espace ${\displaystyle E\otimes E}$. Néanmoins on prendra bien soin de noter que dans le cas général ${\displaystyle u\otimes v\neq v\otimes u}$.

Le produit tensoriel se comporte bien comme un produit vis-à-vis de l'addition des espaces vectoriels :

${\displaystyle (u+u')\otimes v=u\otimes v+u'\otimes v}$

${\displaystyle u\otimes (v+v')=u\otimes v+u\otimes v'}$

On notera que le produit tensoriel généralise le produit par un scalaire défini sur les ${\displaystyle \mathbb {K} }$-espaces vectoriels ${\displaystyle (E,\mathbb {K} ,+,\cdot )}$ ainsi que le produit dans le corps ${\displaystyle (\mathbb {K} ,+,\times )}$. On a ainsi ${\displaystyle \lambda \otimes u=\lambda \cdot u}$ et ${\displaystyle \lambda _{1}\otimes \lambda _{2}=\lambda _{1}\times \lambda _{2}}$.

Soit ${\displaystyle (e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})}$ une base de ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle (\epsilon _{1},\epsilon _{2},...\epsilon _{m})}$ une base de ${\displaystyle F}$. Alors la famille ${\displaystyle (e_{i}\otimes \epsilon _{j})_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}}$ forme une base de ${\displaystyle E\otimes F}$. Par conséquent tout élément ${\displaystyle T\in E\otimes F}$ admet une unique famille de coordonnées sur cette base :

${\displaystyle \exists$ !(T_{ij})_{ij}\in \mathbb {K} ^{nm},T=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}T_{ij}\cdot e_{i}\otimes \epsilon _{j}}

Cette formule est bien cohérente avec le fait que ${\displaystyle \dim(E\otimes F)=\dim(E)\cdot \dim(F)}$. Les coordonnées ${\displaystyle (T_{ij})_{ij}}$ sont explicitement calculables en utilisant les bases duales ${\displaystyle (e_{1}^{*},e_{2}^{*},\cdots ,e_{n}^{*})}$ et ${\displaystyle (\epsilon _{1}^{*},\epsilon _{2}^{*},...\epsilon _{m}^{*})}$ par la formule :

${\displaystyle \forall i,\forall j,\quad T_{ij}=T(e_{i}^{*},\epsilon _{j}^{*})}$

Ces formules se généralisent pour ${\displaystyle k}$ espaces vectoriels.

Soit ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps ${\displaystyle \mathbb {K} }$ tel que ${\displaystyle {\mathcal {E}}=E_{1}\otimes \cdots \otimes E_{k}}$. On suppose qu'il existe deux indices ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle j}$ tels que ${\displaystyle E_{i}=E_{j}^{*}}$ (ou de manière complètement équivalente ${\displaystyle E_{j}=E_{i}^{*}}$). Soit ${\displaystyle (e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})}$ une base de ${\displaystyle E_{i}}$ ; la base duale ${\displaystyle (e_{1}^{*},e_{2}^{*},\cdots ,e_{n}^{*})}$ est donc une base de ${\displaystyle E_{j}}$. Étant donné un tenseur ${\displaystyle T\in {\mathcal {E}}}$, l'application

${\displaystyle (u_{1},\cdots ,u_{i-1},u_{i+1},\cdots ,u_{j-1},u_{j+1},\cdots ,u_{k})\mapsto \sum _{r=1}^{n}T(u_{1},\cdots ,u_{i-1},e_{r}^{*},u_{i+1},\cdots ,u_{j-1},e_{r},u_{j+1},\cdots ,u_{k})}$

est une forme ${\displaystyle (k-2)}$-linéaire sur ${\displaystyle E_{1}^{*}\times \cdots \times E_{i-1}^{*}\times E_{i+1}^{*}\times \cdots \times E_{j-1}^{*}\times E_{j+1}^{*}\times \cdots \times E_{k}^{*}}$, autrement dit un tenseur de ${\displaystyle E_{1}\otimes \cdots \otimes E_{i-1}\otimes E_{i+1}\otimes \cdots \otimes E_{j-1}\otimes E_{j+1}\otimes \cdots \otimes E_{k}}$. Par ailleurs cette forme est indépendante du choix de la base de ${\displaystyle E_{i}}$. L'opération s'appelle contraction de ${\displaystyle T}$ sur les indices ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle j}$. Elle est parfois notée ${\displaystyle \mathrm {tr} _{ij}}$

Il est important de garder à l'esprit que l'opération de contraction n'est possible que pour deux indices correspondant à des espaces duaux entre eux et n'a aucun sens dans d'autres cas. Il s'agit en outre d'une opération linéaire de ${\displaystyle {\mathcal {E}}=E_{1}\otimes \cdots \otimes E_{k}}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {F}}=E_{1}\otimes \cdots \otimes E_{i-1}\otimes E_{i+1}\otimes \cdots \otimes E_{j-1}\otimes E_{j+1}\otimes \cdots \otimes E_{k}}$.

En pratique la contraction est souvent utilisée au sein d'une opération appelée produit contracté et notée ${\displaystyle \odot }$, ${\displaystyle {\bar {\otimes }}}$ ou même simplement ${\displaystyle \cdot }$. Le produit contracté de deux tenseurs est le résultat de leur produit tensoriel suivi d'une contraction d'un indice du premier par un indice du second. On notera que les notations sont lacunaires : elles ne précisent pas quels sont les indices de contraction. Par défaut, il s'agit en général du dernier indice du premier tenseur et du premier indice du second. Comme pour la contraction, le produit contracté n'a de sens que si les indices contractés correspondent à des espaces duaux.

Le produit contracté est associatif si le tenseur du centre a au moins deux indices. Ainsi pour ${\displaystyle R\in E\otimes \cdots \otimes F^{*}}$, ${\displaystyle S\in F\otimes \cdots \otimes G^{*}}$ et ${\displaystyle T\in G\otimes \cdots \otimes H^{*}}$, on a bien ${\displaystyle (R\odot S)\odot T=R\odot (S\odot T)}$. Si le tenseur du centre n'a qu'un indice, il est possible que l'un des deux parenthésages n'ait pas de sens, et même dans le cas contraire, l'égalité ne sera pas réalisée dans le cas général.

Le produit contracté se comporte bien comme un produit vis-à-vis de l'addition des espaces vectoriels :

${\displaystyle (S+S')\odot T=S\odot T+S'\odot T}$

${\displaystyle S\odot (T+T')=S\odot T+S\odot T'}$

Étant donné un tenseur ${\displaystyle T\in E_{1}^{*}\otimes \cdots \otimes E_{k}^{*}}$ et ${\displaystyle k}$ vecteurs tels que ${\displaystyle v_{i}\in E_{i}}$ on peut effectuer deux opérations :

• calculer l'image des ${\displaystyle k}$ vecteurs par ${\displaystyle T}$ (qui, rappelons-le, peut toujours être vue comme une forme multilinéaire) : ${\displaystyle T(v_{1},\cdots ,v_{k})}$ ;
• calculer les produits contractés successifs de ${\displaystyle T}$ par chaque vecteur ${\displaystyle ((\cdots (T\odot v_{k})\cdots )\odot v_{2})\odot v_{1}}$.

Il s'agit en fait d'une seule et même opération : ${\displaystyle T(v_{1},\cdots ,v_{k})=((\cdots (T\odot v_{k})\cdots )\odot v_{2})\odot v_{1}}$

D'une manière plus générale, si ${\displaystyle u\in E_{i}}$ le tenseur ${\displaystyle (v_{1},\cdots ,v_{i-1},v_{i+1},\cdots ,v_{k})\mapsto T(v_{1},\cdots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\cdots ,v_{k})}$ construit en évaluant la ${\displaystyle i}$-ème position de ${\displaystyle T}$ est égal au produit contracté de ${\displaystyle T}$ en son ${\displaystyle i}$-ème indice par ${\displaystyle u}$ en son unique indice. Dès lors il devient possible d'occulter complètement l'aspect fonctionnel de ${\displaystyle T}$ pour ne considérer que ses propriétés algébriques.

Le crochet de dualité est donc un cas particulier du produit contracté : ${\displaystyle \langle \phi ,u\rangle =\phi \odot u}$.

L'application linéaire ${\displaystyle f:E\rightarrow F}$ pouvant être vue comme un tenseur ${\displaystyle T\in F\otimes E^{*}}$, on peut calculer l'image d'un vecteur ${\displaystyle u\in E}$ comme étant le produit contracté ${\displaystyle T\odot u=f(u)}$.

Si ${\displaystyle f:E\rightarrow F}$ et ${\displaystyle g:F\rightarrow G}$ sont représentées par les tenseurs ${\displaystyle T\in F\otimes E^{*}}$ et ${\displaystyle S\in G\otimes F^{*}}$, alors l'application composée ${\displaystyle g\circ f:E\rightarrow G}$ peut être représentée par le tenseur ${\displaystyle S\odot T}$.

La contraction peut être exercée plusieurs fois à la suite d'un produit tensoriel. Par exemple le produit doublement contracté (noté ${\displaystyle$ :} , ${\displaystyle {\bar {\bar {\otimes }}}}$ ou par deux points dans un cercle) correspond à deux contractions successives après un produit tensoriel. Là encore les indices de contractions n'étant en général pas précisés, le produit doublement contracté ${\displaystyle S{\bar {\bar {\otimes }}}T}$ correspond souvent à la contraction du dernier indice de ${\displaystyle S}$ par le premier de ${\displaystyle T}$ et de l'avant dernier de ${\displaystyle S}$ par le deuxième de ${\displaystyle T}$.

On peut définir de même un produit ${\displaystyle n}$ fois contracté si les tenseurs le permettent.

Pour des espaces ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ donnés à priori, l'existence d'une telle application ${\displaystyle \tau }$ n'implique cependant pas nécessairement son unicité. Supposons en effet qu'un espace ${\displaystyle E_{i}}$ est présent plusieurs fois dans le produit ${\displaystyle {\mathcal {E}}=E_{1}\otimes \cdots \otimes E_{k}}$. Si l'espace ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est un produit des mêmes ${\displaystyle E_{i}}$ (mais dans un ordre éventuellement différent), il existe plus d'une permutation ${\displaystyle \sigma }$ telle que ${\displaystyle \tau _{\sigma }}$ soit un isomorphisme de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Ainsi pour ${\displaystyle {\mathcal {E}}=E\otimes F\otimes E\otimes E}$ et ${\displaystyle {\mathcal {F}}=E\otimes E\otimes F\otimes E}$, on peut utiliser comme isomorphisme les applications ${\displaystyle \tau _{(23)}}$, ${\displaystyle \tau _{(1234)}}$, ${\displaystyle \tau _{(14)(23)}}$, ${\displaystyle \tau _{(234)}}$, ${\displaystyle \tau _{(123)}}$ et ${\displaystyle \tau _{(1423)}}$.

${\displaystyle E\otimes E}$ peut être mis en relation avec lui-même via deux permutations : l'identité ${\displaystyle \tau _{id}}$ et l'application ${\displaystyle \tau _{(12)}}$. En généralisant à un ordre quelconque, l'espace ${\displaystyle {\mathcal {E}}=E^{\otimes k}}$ peut être muni d'un groupe d'automorphismes constitué de telles applications. Ce groupe est en outre isomorphe à ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{k}}$.

C'est cette absence d'unicité dans le cas général qui oblige à tenir compte de l'ordre des indices. De fait, on s'abstient en règle générale de considérer le produit tensoriel d'espaces comme commutatif.

Dans le cas de produit de deux espaces, l'application ${\displaystyle \tau _{(12)}}$ peut être appelée transposition. Cette notion est cohérente avec celle de transposition d'application linéaire. On sait en effet qu'une application linéaire ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle F}$ peut être représentée par un tenseur ${\displaystyle T\in F\otimes E^{*}}$. Le tenseur transposé ${\displaystyle {}^{t}T=\tau _{(12)}T}$, élément de ${\displaystyle E^{*}\otimes F=E^{*}\otimes (F^{*})^{*}}$ représente alors l'application transposée ${\displaystyle {}^{t}f}$, application de ${\displaystyle F^{*}}$ dans ${\displaystyle E^{*}}$.

Pour deux permutations ${\displaystyle \sigma }$ et ${\displaystyle \sigma '}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{k}}$, on a :

${\displaystyle \tau _{\sigma }\circ \tau _{\sigma '}=\tau _{\sigma \circ \sigma '}}$

${\displaystyle \left(\tau _{\sigma }\right)^{-1}=\tau _{(\sigma ^{-1})}}$

Étant donné un espace vectoriel de dimension finie ${\displaystyle E}$ on appelle tenseur sur ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ fois contravariant et ${\displaystyle l}$ fois covariant (ou tenseur ${\displaystyle (k,l)}$) tout élément de ${\displaystyle E^{\otimes k}\otimes (E^{*})^{\otimes l}}$. ${\displaystyle k}$ et ${\displaystyle l}$ sont les variances de ce type de tenseur, ${\displaystyle k+l}$ est leur ordre (parfois appelé rang, bien que ce mot puisse porter à confusion[2]). Les tenseurs de type ${\displaystyle (k,l)}$ forment un espace vectoriel. On fixe les notations :

• ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{l}^{k}E=E^{\otimes k}\otimes (E^{*})^{\otimes l}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}E={\mathcal {T}}_{0}^{k}E=E^{\otimes k}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{l}E={\mathcal {T}}_{l}^{0}E={\mathcal {T}}^{l}E^{*}=(E^{*})^{\otimes l}}$

L'algèbre des tenseurs de ${\displaystyle E}$ notée ${\displaystyle {\mathcal {T}}E}$ est définie suivant les auteurs, soit comme la somme directe des espaces des tenseurs contravariants, soit comme la somme directe des espaces des tenseurs à la fois contravariants et covariants. Afin de distinguer ces deux cas, on adopte les notations suivantes (non conventionnelles) :

• ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{\star }E=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathcal {T}}^{k}E}$
• ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\star }^{\star }E=\bigoplus _{k\geq 0,l\geq 0}{\mathcal {T}}_{l}^{k}E}$

Les algèbres ${\displaystyle ({\mathcal {T}}^{\star }E,\mathbb {K} ,+,\cdot ,\otimes )}$ et ${\displaystyle ({\mathcal {T}}_{\star }^{\star }E,\mathbb {K} ,+,\cdot ,\otimes )}$ sont des algèbres sur le corps ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Ce sont même des algèbres graduées sur respectivement ${\displaystyle \mathbb {N} }$ et ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$ ; toutes deux de dimension infinie.

L'algèbre extérieure sur ${\displaystyle E}$ notée ${\displaystyle \Lambda E}$ possède des liens privilégiés avec l'algèbre ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{\star }E}$ du fait d'une possible injection des espaces ${\displaystyle \Lambda ^{k}E}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}E}$.

• L'algèbre tensorielle est surtout définie afin de donner une structure générale à l'ensemble des tenseurs. Ceci nécessite de prolonger l'addition qui n'est a priori pas définie entre les éléments de ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{l_{1}}^{k_{1}}E}$ et de ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{l_{2}}^{k_{2}}E}$ si ${\displaystyle (k_{1},l_{1})\neq (k_{2},l_{2})}$. Il faut pour cela introduire des éléments supplémentaires. Ainsi en considérant par exemple le cas de ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{\star }E}$, un élément est formellement une suite ${\displaystyle (T_{0},T_{1},T_{2},\cdots )}$ telle que ${\displaystyle T_{k}\in {\mathcal {T}}^{k}E}$ et, par définition des sommes directes, dont seul un nombre fini d'éléments est non nul. Néanmoins en physique et dans beaucoup d'applications seuls les éléments appartenant à des sous-espaces de type ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{l}^{k}E}$ ou ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}E}$ sont pris en considération (ce sont les seuls pour lesquels les notions d'ordre et de variance ont un sens). Ils sont parfois appelés éléments homogènes de l'algèbre graduée.
• Les éléments de ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}E}$ (avec ${\displaystyle k>0}$) sont généralement appelés tenseurs contravariants, ceux de ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{l}E}$ (avec ${\displaystyle l>0}$) tenseurs covariants et ceux de ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{l}^{k}E}$ (avec ${\displaystyle (k,l)>0}$) tenseurs mixtes.
• En toute rigueur, l'algèbre ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\star }^{\star }E}$ n'offre a priori pas de liberté quant à l'ordre des indices covariants et contravariants. Elle ne contient par exemple pas l'espace ${\displaystyle E\otimes E^{*}\otimes E\otimes E^{*}\otimes E^{*}}$. Néanmoins on convient généralement qu'un tel espace est, si nécessaire, assimilé à ${\displaystyle E\otimes E\otimes E^{*}\otimes E^{*}\otimes E^{*}}$ par permutation des indices (les indices contravariants sont décalés vers l'avant au besoin) :

${\displaystyle (S\otimes T)(\phi ,\psi ,u,v,w)=S(\phi ,u)\cdot T(\psi ,v,w)}$

Cette permutation permet d'affirmer que le produit tensoriel est bien une opération interne à ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\star }^{\star }E}$.

Si ${\displaystyle S}$ et ${\displaystyle T}$ sont des tenseurs respectivement ${\displaystyle (k_{1},l_{1})}$ et ${\displaystyle (k_{2},l_{2})}$ sur ${\displaystyle E}$, alors ${\displaystyle S\otimes T}$ est (sous réserve de permutation des indices) un tenseur ${\displaystyle (k_{1}+k_{2},l_{1}+l_{2})}$.

• ${\displaystyle S\otimes T\in {\mathcal {T}}_{l_{1}+l_{2}}^{k_{1}+k_{2}}E}$

Un produit contracté ${\displaystyle S\odot T}$ (sur des indices à préciser) est un tenseur ${\displaystyle (k_{1}+k_{2}-1,l_{1}+l_{2}-1)}$. D'une manière générale toute opération de contraction diminue la covariance et la contravariance de 1. Elle réduit donc l'ordre de 2.

• ${\displaystyle S\odot T\in {\mathcal {T}}_{l_{1}+l_{2}-1}^{k_{1}+k_{2}-1}E}$

Un endomorphisme de ${\displaystyle E}$ peut être vu comme un élément ${\displaystyle T\in {\mathcal {T}}_{1}^{1}E}$, autrement dit un tenseur ${\displaystyle (1,1)}$. La trace de cet endomorphisme vaut ${\displaystyle \mathrm {tr} (T)=\mathrm {tr} _{12}(T)}$ ; c'est-à-dire le résultat de la contraction de ${\displaystyle T}$ par rapport à ses deux indices.

Soit un tenseur ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{l}^{k}E}$ et deux indices ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle j}$ correspondant au même espace vectoriel (c'est-à-dire soit ${\displaystyle E}$ soit ${\displaystyle E^{*}}$ pour les deux indices).

On dit que ${\displaystyle T}$ est symétrique par rapport aux indices ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle j}$ si ${\displaystyle \tau _{(ij)}T=T}$.

On dit que ${\displaystyle T}$ est antisymétrique par rapport aux indices ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle j}$ si ${\displaystyle \tau _{(ij)}T=-T}$.

On dit que ${\displaystyle T}$ est totalement symétrique s'il est symétrique pour tout couple d'indice. Il faut donc pour cela qu'il appartienne à ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}E}$ ou ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{l}E}$.

On dit que ${\displaystyle T}$ est totalement antisymétrique s'il est antisymétrique pour tout couple d'indice. Là encore, l'espace doit être ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}E}$ ou ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{l}E}$.

Un produit scalaire réel ${\displaystyle (\cdot |\cdot )}$ sur un espace ${\displaystyle E}$ de dimension finie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est un cas particulier de tenseur ${\displaystyle (0,2)}$ symétrique qu'on peut noter ${\displaystyle g}$. Il est par ailleurs défini et positif. On a donc :

${\displaystyle (u|v)=g(u,v)=u\odot g\odot v}$

Via l'isomorphisme ${\displaystyle m_{g}}$ on peut alors assimiler tout élément de ${\displaystyle E^{*}}$ à un élément de ${\displaystyle E}$ : ${\displaystyle m_{g}(u)\approx u}$. D'une manière générale, cela permet de ne plus distinguer les indices contravariants et covariants. Dans ces conditions, un tenseur de type ${\displaystyle (k,l)}$ peut être aussi bien vu comme un tenseur ${\displaystyle (k+l,0)}$ que ${\displaystyle (0,k+l)}$. L'ordre ${\displaystyle k+l}$ devient alors une caractéristique suffisante pour catégoriser tout tenseur construit sur ${\displaystyle E}$.

Il devient possible de contracter deux vecteurs de ${\displaystyle E}$. Cette contraction s'identifie au produit scalaire : ${\displaystyle u\odot v=(u|v)}$

On peut maintenant contracter deux indices correspondant au même espace quadratique ${\displaystyle E}$ par utilisation implicite du produit scalaire :

Un produit scalaire hermitien n'est pas un tenseur : il n'est en effet que semi-linéaire par rapport à sa première variable. De fait, les propriétés énoncées ci-dessus ne s'appliquent pas dans le cadre des espaces hermitiens.

On se donne les tenseurs suivant :

• Scalaires : ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} ,\mu \in \mathbb {K} ,\nu \in \mathbb {K} }$
• Vecteurs : ${\displaystyle u\in E,v\in E,w\in E}$
• Covecteurs (formes linéaires) : ${\displaystyle \phi \in E^{*},\psi \in E^{*},\chi \in E^{*}}$
• Tenseurs d'ordre 2 :
  • ${\displaystyle T\in E^{*}\otimes E}$
  • ${\displaystyle S\in E^{*}\otimes E^{*}}$
  • ${\displaystyle R\in E\otimes E^{*}}$
  • ${\displaystyle Q\in E^{*}\otimes E^{*}}$
  • ${\displaystyle P\in E\otimes E}$
  • ${\displaystyle O\in E\otimes E^{*}}$
• Tenseurs d'ordre 3 et plus :
  • ${\displaystyle \Omega \in E^{*}\otimes E^{*}\otimes E}$
  • ${\displaystyle \Phi \in E\otimes E\otimes E^{*}}$
  • ${\displaystyle \Delta \in E^{*}\otimes E^{*}\otimes E\otimes E^{*}\otimes E^{*}\otimes E}$
  • ${\displaystyle \Gamma \in E\otimes E^{*}\otimes E^{*}\otimes E\otimes E^{*}\otimes E^{*}}$

On choisit par ailleurs une base ${\displaystyle (e_{1},e_{2},\cdots )}$ dans ${\displaystyle E}$. Ce choix induit naturellement celui de la base duale ${\displaystyle (e^{1},e^{2},\cdots )}$ dans ${\displaystyle E^{*}}$. Les tenseurs précédemment définis admettent alors une seule décomposition dans ces bases.

Notation des opérations dans les espaces de dimension finie

Propriétés	Notation sans indices	Convention d'Einstein / Notation en indice abstrait
Produit tensoriel	${\displaystyle T=\phi \otimes u}$	${\displaystyle T_{i}{}^{j}=\phi _{i}\;u^{j}}$
	${\displaystyle \Delta =S\otimes v\otimes \Omega }$	${\displaystyle \Delta _{ij}{}^{k}{}_{lm}{}^{n}=S_{ij}\;v^{k}\;\Omega _{lm}{}^{n}}$
	${\displaystyle R+v\otimes \chi =O}$	${\displaystyle R^{i}{}_{j}+v^{i}\;\chi _{j}=O^{i}{}_{j}}$
Produit contracté	${\displaystyle \lambda =\phi \odot u=\phi \;{\bar {\otimes }}\;u}$	${\displaystyle \lambda =\phi _{m}\;u^{m}}$
	${\displaystyle v\odot \Omega \odot \phi =\lambda \cdot S\odot P\odot \chi +\psi }$	${\displaystyle v^{m}\;\Omega _{mi}{}^{n}\;\phi _{n}=\lambda \;S_{ip}\;P^{pq}\;\chi _{q}+\psi _{i}}$
Contraction	${\displaystyle \mu =\mathrm {tr} _{12}(T)}$	${\displaystyle \mu =T_{m}{}^{m}}$
	${\displaystyle \mathrm {tr} _{13}(\Phi )=w}$	${\displaystyle \Phi ^{mi}{}_{m}=w^{i}}$
Permutation d'indices	${\displaystyle T=\tau _{(12)}(R)={}^{t}R}$	${\displaystyle T_{i}{\;}^{j}=R^{j}{}_{i}}$
	${\displaystyle \Gamma =\tau _{(123)(46)}(\Delta )}$	${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}{}^{l}{}_{mn}=\Delta _{jk}{}^{i}{}_{nm}{}^{l}}$
Mélange	${\displaystyle \mathrm {tr} _{26}(\Delta )\;{\bar {\bar {\otimes }}}\;\Phi +\tau _{(23)}(\Omega )=\chi \otimes P\odot Q}$	${\displaystyle \Delta _{im}{}^{j}{}_{np}{}^{m}\;\Phi ^{pn}{}_{k}+\Omega _{ik}{}^{j}=\chi _{i}\;P^{jq}\;Q_{qk}}$

On considère par ailleurs l'existence du (pseudo-) produit scalaire ${\displaystyle g\in E^{*}\otimes E^{*}}$.