Espace bidual

Dans la suite, on considère un espace vectoriel E sur un corps commutatif K.

Il existe une application linéaire canonique[2] - [3] i_E de E dans son bidual, associant à un vecteur x de E la forme linéaire ${\displaystyle x^{**}}$ sur E* définie par ${\displaystyle x^{**}(h)=h(x)}$ pour toute forme linéaire h sur E. Autrement dit :

${\displaystyle i_{E}:\left\{{\begin{array}{lll}E&\to &E^{**}\\x&\mapsto &\left\{{\begin{array}{lll}E^{*}&\to &K\\h&\mapsto &h(x).\end{array}}\right.\end{array}}\right.}$

En d'autres termes, l'application linéaire i_E associe à tout vecteur x de E l'application x** dans E** qui évalue en x les formes linéaires sur E.

Lorsque l'espace vectoriel E est de dimension finie, i_E est un isomorphisme (voir Base duale) donc E est canoniquement isomorphe à son bidual, ce qui permet en pratique de les identifier[2] - [4].

En dimension infinie, l'axiome du choix permet de montrer que cette application i_E est injective[5], mais i_E n'est jamais surjective. En effet, le théorème d'Erdős-Kaplansky implique que la dimension de E** est strictement supérieure à celle de E.

La construction de i est fonctorielle dans le sens suivant. La fonctorialité est plus précise que la « canonicité ». La fonctorialité pour les isomorphismes ${\displaystyle f}$ signifie l'indépendance vis-à-vis du choix d'une base.

Pour toute application linéaire ${\displaystyle f:E\to F}$, on a l'application duale ${\displaystyle f^{*}:F^{*}\to E^{*}}$ et donc une application biduale ${\displaystyle f^{**}:E^{**}\to F^{**}}$. Alors les applications ${\displaystyle i_{E}:E\to E^{**}}$ et ${\displaystyle i_{F}:F\to F^{**}}$ vérifient ${\displaystyle i_{F}f=f^{**}i_{E}}$. Moralement, un isomorphisme fonctoriel est compatible avec toute opération linéaire.

Lorsque E est un espace vectoriel topologique, on prendra garde à l'existence d'une autre notion de dualité (puis de bidualité), qui prend en compte la structure supplémentaire ; on se réfèrera à l'article Dual topologique, et plus spécifiquement à la section intitulée « Bidual (topologique) ».