Quadrivitesse

En mécanique classique, les événements sont décrits par leur position à chaque instant. La trajectoire d'un objet dans l'espace tri-dimensionnel est paramétrée par le temps. La vitesse classique est le taux de variation des coordonnées d'espace par rapport au temps et est tangente à sa trajectoire.

La trajectoire d'un objet dans un espace tridimensionnel est déterminée par une fonction vectorielle à trois composantes,${\displaystyle x^{i}(t),\;i\in \{1,2,3\}}$, où chacune des composantes est fonction d'un temps absolu t:

${\displaystyle {\vec {x}}=x^{i}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}}$

Où ${\displaystyle x^{i}(t)}$ dénote les trois coordonnées spatiales de l'objet au temps t.

Les composantes de la vitesse classique ${\displaystyle {\vec {u}}}$ au point p sont:

${\displaystyle {\vec {u}}=(u^{1},u^{2},u^{3})={\mathrm {d} {\vec {x}} \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d} x^{i} \over \mathrm {d} t}=\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} t}}\right)}$

où les dérivées sont prises au point p. En d'autres termes, elle est la différence entre deux positions ${\displaystyle \mathrm {d} x^{i}}$ divisée par l'intervalle de temps les séparant ${\displaystyle \mathrm {d} t}$.

En théorie de la relativité, la trajectoire d'un objet dans l'espace-temps par rapport à un référentiel donné est définie par une fonction vectorielle à quatre composantes ${\displaystyle x^{\mu }(\tau ),\;\mu \in \{0,1,2,3\}}$, chacune d'entre elles dépendant d'un paramètre ${\displaystyle \tau }$, appelé temps propre de l'objet.

${\displaystyle \mathbf {x} =x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}}$

La quadrivitesse d'un objet est définie comme la tangente de sa ligne d'univers. Ainsi, un objet décrit par la ligne d'univers ${\displaystyle \mathbf {x} (\tau )}$ aura une quadrivitesse définie comme :

${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} \tau }}=\left({\frac {\mathrm {d} x^{0}}{\mathrm {d} \tau }},{\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} \tau }},{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} \tau }},{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} \tau }}\right)}$

De la dilatation du temps en relativité restreinte, on sait que ${\displaystyle t=\gamma \tau \,}$ où ${\displaystyle \gamma }$ est le facteur de Lorentz, défini comme ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}}$ et u est la norme de la vitesse vectorielle classique ${\displaystyle {\vec {u}}}$ supposée constante dans le temps : ${\displaystyle u=||\ {\vec {u}}\ ||={\sqrt {(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}+(u^{3})^{2}}}}$.

La relation entre la coordonnée temporelle ${\displaystyle x^{0}}$ et le temps t est donnée par

${\displaystyle x^{0}=ct=c\gamma \tau \,}$

En dérivant par rapport au temps propre ${\displaystyle \tau \,}$, on trouve[15]

${\displaystyle U^{0}={\frac {\mathrm {d} x^{0}}{\mathrm {d} \tau \;}}=c\gamma }$

En utilisant règle de dérivation en chaîne, pour ${\displaystyle \mu =i=}$1, 2, 3, on trouve

${\displaystyle U^{i}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} x^{0}}}{\frac {\mathrm {d} x^{0}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} x^{0}}}c\gamma ={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} (ct)}}c\gamma ={1 \over c}{\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}c\gamma =\gamma {\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}=\gamma u^{i}}$

où nous avons utilisé la définition de la vitesse classique

${\displaystyle u^{i}={dx^{i} \over dt}}$

Ainsi, nous trouvons[16], pour la quadrivitesse ${\displaystyle {U}}$:

${\displaystyle {U}=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)}$

Les trois composantes spatiales de la quadrivitesse définissent la vitesse propre d'un objet, ${\displaystyle {\vec {\eta }}=d{\vec {x}}/d\tau }$, soit le taux de variation des coordonnées d'espace par rapport au temps propre.

En relativité restreinte, on a ${\displaystyle {\vec {\eta }}=\gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau }$.

La quadrivitesse étant un quadrivecteur, sa norme est un quadriscalaire, et donc invariante peu importe le choix de référentiel. Dans tous les référentiels, autant en relativité restreinte qu'en relativité générale, la pseudo-norme de la quadrivitesse est

${\displaystyle |{U}|={\sqrt {{U}*{U}}}={\sqrt {{\gamma }^{2}c^{2}-{\gamma }^{2}{u}^{2}}}={\sqrt {{\gamma }^{2}(c^{2}-u^{2})}}={\sqrt {\frac {c^{2}-u^{2}}{1-u^{2}/c^{2}}}}={\sqrt {\frac {c^{2}(c^{2}-u^{2})}{c^{2}-u^{2}}}}=c\,}$

Ainsi, la pseudo-norme de la quadrivitesse est toujours égale à la vitesse de la lumière. On peut donc considérer n'importe quel objet massif comme se déplaçant dans l'espace-temps à la vitesse de la lumière.

Une particule de masse nulle est dotée d'une vitesse (classique) égale à la vitesse de la lumière : ${\displaystyle \ v=c\;.}$ Dans ce cas la pseudo-norme de ${\displaystyle \left({\frac {dx^{0}}{dt}};{\frac {dx^{1}}{dt}};{\frac {dx^{2}}{dt}};{\frac {dx^{3}}{dt}}\right)=(c;{\dot {x}};{\dot {y}};{\dot {z}})}$ est égale à ${\displaystyle c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=0\;}$, constante indépendante du référentiel, c'est donc un quadrivecteur : les égalités établies pour un corps massif n'ont pas besoin de l'être pour un corps de masse nulle, et d'ailleurs ne le peuvent pas, le temps propre de ce corps étant nul (${\displaystyle \scriptstyle \ d\tau ={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.dt=0\;}$).

De manière générale, l'égalité ${\displaystyle \ c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=0}$ montre que tout paramètre ${\displaystyle \ \lambda }$ peut être choisi pour paramétrer la trajectoire du corps car la « vitesse » ${\displaystyle \scriptstyle V={\frac {dM}{d\lambda }}}$ ainsi obtenue a une pseudo-norme constante (nulle), et est donc un quadrivecteur : ${\displaystyle \scriptstyle V^{i}.V_{i}=\left({\frac {cdt}{d\lambda }}\right)^{2}-\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}-\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}-\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}=0}$.

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• Quadrivecteur
• Relativité restreinte