Genre (relativité)

Le genre d'un quadrivecteur ${\displaystyle V}$ est déterminé par sa norme, c'est-à-dire par la quantité :

${\displaystyle N=g_{ab}V^{a}V^{b}}$,

où ${\displaystyle g}$ correspond à la métrique de l'espace considéré (la métrique de Minkowski en relativité restreinte, et la métrique associée à la variété différentielle décrivant l'espace temps en relativité générale).

Dans la métrique de Minkowski, on peut définir les vecteurs de base associés à un système de coordonnées cartésiennes ${\displaystyle (t,x,y,z)}$. Ces vecteurs, que l'on peut noter ${\displaystyle \partial /\partial t}$ ou t, et ainsi de suite, et de composantes ${\displaystyle t^{a}=(1,0,0,0)}$ et ainsi de suite, possèdent les normes suivantes (dans la convention de signature (+---)) :

${\displaystyle \eta _{ab}t^{a}t^{b}=c^{2}}$ (c est la vitesse de la lumière)

${\displaystyle \eta _{ab}x^{a}x^{b}=-1}$,

${\displaystyle \eta _{ab}y^{a}y^{b}=-1}$,

${\displaystyle \eta _{ab}z^{a}z^{b}=-1}$.

Les vecteurs x, y, z sont ainsi de genre espace, alors que t est de genre temps. t correspond de fait à la quadrivitesse d'un observateur immobile dans le système de coordonnées considéré. À l'inverse, x, y, ou z ne correspond pas à la quadrivitesse d'un objet matériel, mais à une direction orthogonale à celle-ci. Ils décrivent une direction d'espace. Un vecteur du type ${\displaystyle c{\mathbf {x} }+{\mathbf {t} }}$ est lui de norme nulle :

${\displaystyle \eta _{ab}(cx^{a}+t^{a})(cx^{b}+t^{b})=0}$.