Fréquence

La fréquence, dans ce qu'elle a de plus accessible intuitivement, mesure un phénomène périodique. Plus le phénomène est fréquent, plus sa fréquence est grande.

Inversement, pour mesurer le temps, on fait appel à des phénomènes périodiques qu'on sait stables.

C'est ainsi que le Système international d'unités définit la seconde comme « la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium 133[3] ».

En conséquence, on peut définir une fréquence comme le rapport entre deux unités de temps différentes, exprimée en général par le nombre d'unités de l'une pour une de l'autre[4].

Relation entre temps et fréquence

Les phénomènes ont à la fois une extension dans le temps, entre un début et une fin, et une dimension fréquentielle, dans la mesure où ils se répètent périodiquement entre ce début et cette fin. On peut les décrire par l'évolution de leur amplitude dans le temps, ou par les fréquences de leur spectre.

Une description temporelle ne contient aucune information fréquentielle ; une description fréquentielle ne contient aucune information temporelle. La transformation suppose qu'on connaisse le signal à l'infini.

Pour décrire adéquatement un phénomène, on peut le découper dans le temps en segments dont on puisse déterminer à peu près le spectre. La relation d'incertitude

${\displaystyle \Delta t\cdot \Delta f\geq {\frac {1}{4\pi }}}$

décrit le fait que plus la durée ${\displaystyle \Delta \ t}$ du segment est longue, et donc plus l'incertitude sur la durée est grande, plus l'incertitude sur la fréquence Δf est faible, et vice-versa[5].

Cette approche mathématique décrit avec précision des faits connus de l'expérience. Pour définir avec précision une fréquence, il faut observer l'oscillation pendant une longue durée. C'est ainsi que l'horloger, pour régler la fréquence du balancier, doit observer la pendule, qui compte ces oscillations, pendant une longue durée. En procédant ainsi, il obtient la moyenne de la durée des balancements, mais perd toute information sur les éventuelles irrégularités. Inversement, en observant le mouvement pendant une brève période, en soumettant l'horloge à divers mauvais traitements comme le remontage du ressort, des courants d'air ou des vibrations, il reconnaît leur conséquence éventuelle sur le balancement, mais n'acquiert aucune notion précise de sa fréquence. En acoustique musicale, on a depuis longtemps remarqué qu'on ne peut définir la tonie des sons brefs. Identifier un ton implique de discriminer précisément une fréquence fondamentale, ce qui n'est possible qu'avec un minimum de temps d'écoute.

La pulsation d'un phénomène périodique est la valeur de la vitesse de rotation, ou vitesse angulaire, qu'aurait un système en rotation de même fréquence. Pour une fréquence ${\displaystyle f}$ en hertz, la pulsation associée est donc ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ : son unité SI est le radian par seconde (rad s⁻¹)[6].

La pulsation est parfois nommée « fréquence angulaire », par traduction littérale de l'anglais « angular frequency » : ce terme est fréquemment employé dans des ouvrages traduits d'auteurs anglophones et est déconseillé par de nombreux auteurs francophones[7] - [8] - [9] - [10].

L'analogie avec un système mécanique en rotation est intéressante car la description mathématique est très similaire à celle d'une grandeur évoluant de façon sinusoïdale ${\displaystyle x=a\cos(\omega ~t)=a\cos(2\pi f\,t)}$, où ${\displaystyle a}$ est l'amplitude, ${\displaystyle \omega }$ la vitesse angulaire, ${\displaystyle f}$ la fréquence et ${\displaystyle t}$ le temps. La différence avec une véritable vitesse de rotation est que le phénomène décrit n'est pas une rotation, mais une variation périodique ; la rotation n'est pas ici une rotation physique, mais est celle de la phase dans l'espace réciproque.

Les coordonnées dans le plan d'un point décrivant un cercle de rayon ${\displaystyle a}$ sont : ${\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos(\omega ~t)\\y=a\sin(\omega ~t)\end{cases}}}$

où ${\displaystyle x}$ est l'abscisse et ${\displaystyle y}$ est l'ordonnée.

Dans de nombreux domaines de la physique dont les phénomènes bénéficient d'une analyse spectrale, il est intéressant d'encoder cette information dans un unique nombre complexe ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}$. D'après la formule d'Euler, ce nombre peut s'exprimer ${\displaystyle z=a\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\omega \,t}}$. Selon l'application, l'amplitude (la norme de ${\displaystyle a}$) a un sens physique ; dans d'autres, c'est la partie réelle de ${\displaystyle z}$ qui peut porter l'information. Cette notation permet, sans être plus alourdie, d'inclure un cas plus général comportant un déphasage du signal en notant simplement que l'amplitude a de cette expression peut également être un nombre complexe qui possède un argument non-nul.

Quand le phénomène périodique est une onde, la fréquence temporelle et la longueur d'onde sont liées par la vitesse de propagation (célérité) de l'onde :

${\displaystyle f={\frac {c}{\lambda }}}$

où ${\displaystyle f}$ est la fréquence de l'onde (en hertz), ${\displaystyle c}$ la célérité de l'onde (en mètres par seconde) et ${\displaystyle \lambda \,}$ la longueur d'onde (en mètres).

Le rayonnement électromagnétique peut se définir soit en termes d'onde de propagation d'une perturbation électromagnétique à la vitesse de la lumière, caractérisée par une fréquence et dont l'énergie dépend de l'amplitude, soit en termes de particules sans masse appelées photon, se déplaçant à la vitesse de la lumière.

Dans ce contexte, on désigne la fréquence par la lettre grecque ${\displaystyle \nu }$ (nu).

L'énergie d'un photon est proportionnelle à la fréquence :

${\displaystyle E=h\cdot \nu }$

où ${\displaystyle h}$ est la constante de Planck.

En électromagnétisme, physique quantique et relativité, on désigne la fréquence par ${\displaystyle \nu }$, la lettre nu de l'alphabet grec. On y parle aussi de fréquence pour la quantité ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}}$, avec la lettre grecque oméga.

Dans la technologie et l'ingénierie, on utilise plus couramment la lettre f, et on appelle la grandeur 2πf pulsation ou vitesse angulaire.

Dans le Système international d'unités dit SI, l'unité de temps est la seconde dont le symbole est s. La fréquence est alors en hertz dont le symbole est Hz (unité SI), et on a 1 Hz = 1 s^-1.

Le hertz ne s'utilise que pour les signaux périodiques. Lorsque le compte d'occurrences par seconde concerne un phénomène aléatoire, on le note explicitement ; par exemple en physique statistique ou en thermodynamique, on compte les « collisions par seconde ». Ainsi, le nombre de désintégrations d'un radionucléide par seconde, représentant son activité, s'exprime en becquerels, et non en hertz[11].

En mécanique, en médecine, en musique, et en général dans des domaines où la mesure de la fréquence ne sert qu'à des comparaisons, on exprime souvent la fréquence « par minute » : tours par minute (voir vitesse angulaire), pouls en battements par minute, comme la graduation du métronome.

Dans le domaine de la physique ondulatoire on parlera d'une fréquence :

• d'oscillation mécanique ;
• de vibration (ressort, corde vibrante, vibration du réseau cristallin, vibration de molécules, etc.) ;
• d'oscillation acoustique dans le domaine audible (sonore) ou inaudible (infrasons, ultrasons, hypersons, etc.) ;
• d'oscillation électromagnétique (lumière visible, infrarouge, ultraviolet, etc.).

Dans le traitement du signal numérique, la fréquence d'échantillonnage détermine la bande passante admissible pour le système.

Dans les technologies numériques synchrones, les circuits communiquent entre eux en suivant un signal d'horloge dont la fréquence détermine les capacités de transfert du système, toutes choses étant égales par ailleurs.