Onde sur une corde vibrante

Répartition des composantes de la tension dans une corde vibrante. Pour la démonstration, les angles des tangentes ont été considérablement exagérés.

Tout ce qui suit suppose que la corde sonore est sans raideur et de diamètre nul, ce qui n'est jamais rigoureusement vérifié. Pour la présentation des effets de raideur, voir : Inharmonicité du piano.

La corde initialement au repos occupe un segment le long de l'axe des x. Elle est tendue avec une tension T (force) appliquée à ses deux extrémités. On déforme la corde dans la direction y et on la lâche. Appelons y(x,t) le déplacement de la corde à l'abscisse x et à l'instant t. Notons ${\displaystyle \alpha }$ l'angle de la tangente à la corde et de l'axe Ox au point d'abscisse x.

Écrivons l'équation de Newton (Lois de Newton) pour une portion de corde à l'aplomb du segment [x , x + dx]. Aux extrémités du segment, on a les forces ${\displaystyle {\vec {F_{1}}}}$ et ${\displaystyle {\vec {F_{2}}}}$ de module T et de sens opposés s'exerçant tangentiellement.

${\displaystyle {\overrightarrow {F_{1}}}=-T(\cos \alpha (x,t){\overrightarrow {e_{x}}}+\sin \alpha (x,t){\overrightarrow {e_{y}}})=-T\cos \alpha (x,t)({\overrightarrow {e_{x}}}+\tan \alpha (x,t){\overrightarrow {e_{y}}})}$

${\displaystyle {\overrightarrow {F_{2}}}=T(\cos \alpha (x+\mathrm {d} x,t){\overrightarrow {e_{x}}}+\sin \alpha (x+\mathrm {d} x,t){\overrightarrow {e_{y}}})=T\cos \alpha (x+\mathrm {d} x,t)({\overrightarrow {e_{x}}}+\tan \alpha (x+\mathrm {d} x,t){\overrightarrow {e_{y}}})}$

On suppose la déformation petite, de sorte que l'angle α est toujours petit. Dans ce cas :

${\displaystyle \cos \alpha (x,t)\simeq 1}$

${\displaystyle \cos \alpha (x+\mathrm {d} x,t)\simeq 1}$

Sachant que

${\displaystyle \tan(\alpha )={\partial y \over \partial x}(x,t)}$

L'expression de ${\displaystyle {\overrightarrow {F_{1}}}}$ et de ${\displaystyle {\overrightarrow {F_{2}}}}$devient :

${\displaystyle {\overrightarrow {F_{1}}}=-T\left({\overrightarrow {e_{x}}}+{\partial y \over \partial x}(x,t){\overrightarrow {e_{y}}}\right)}$

${\displaystyle {\overrightarrow {F_{2}}}=+T\left({\overrightarrow {e_{x}}}+{\partial y \over \partial x}(x+\mathrm {d} x,t){\overrightarrow {e_{y}}}\right)}$

D'où :

${\displaystyle {\overrightarrow {\Delta F}}={\overrightarrow {F_{2}}}+{\overrightarrow {F_{1}}}=T\left({\partial y \over \partial x}(x+\mathrm {d} x,t)-{\partial y \over \partial x}(x,t)\right){\overrightarrow {e_{y}}}}$

Par le théorème de Taylor limité au 1^er ordre (dx est supposé très petit) on obtient :

${\displaystyle {\overrightarrow {\Delta F}}=T\left({\partial y \over \partial x}(x+\mathrm {d} x,t)-{\partial y \over \partial x}(x,t)\right)\mathrm {\cdot } {\overrightarrow {e_{y}}}=T{\partial ^{2}y \over \partial x^{2}}(x,t)\mathrm {d} x\cdot {\overrightarrow {e_{y}}}}$

Si on appelle μ la masse linéique de la corde, la masse d'un petit élément de corde est μ dx et la force d'inertie ${\displaystyle {\overrightarrow {F_{i}}}}$ de cet élément de corde dans le sens du déplacement, c'est-à-dire perpendiculairement à la corde, est :

${\displaystyle {\overrightarrow {F_{i}}}=\mu {\partial ^{2}y \over \partial t^{2}}(x,t)\mathrm {d} x\cdot {\overrightarrow {e_{y}}}}$

On applique le principe fondamental de la dynamique en équilibrant la force d'inertie et la force de rappel (en négligeant la force de la pesanteur) :

${\displaystyle \mu {\partial ^{2}y \over \partial t^{2}}(x,t)=T{\partial ^{2}y \over \partial x^{2}}(x,t)}$

Si l'on pose ${\displaystyle v={\sqrt {\tfrac {T}{\mu }}}}$, v est la vitesse de propagation de la perturbation le long de la corde. L'équation de d'Alembert s'écrit alors

${\displaystyle {\partial ^{2}y \over \partial t^{2}}={v^{2}}{\partial ^{2}y \over \partial x^{2}}}$

Ou encore:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=0}$

Cette équation est historique. C'est une des toutes premières équations aux dérivées partielles[2]. Elle a été présentée par d'Alembert en 1747 devant l'Académie Royale des Sciences de Berlin[3]. C'est une équation d'onde qui, étendue aux trois dimensions de l'espace, sera appliquée à la propagation du son puis à la propagation des ondes électromagnétiques.

Supposons que la corde est infinie. Dans ce cas, une solution possible de l'équation d'onde est : ${\displaystyle y(x,t)=f(x-vt)}$ où f est une fonction arbitraire d'une variable qui est x - vt.

Remarque : ${\displaystyle y(x,t)=f(x+vt)}$ est aussi une solution acceptable, mais correspond à une onde se propageant dans le sens des x négatifs.

L'équation est en effet satisfaite pour tout f. En particulier, si on pose t = 0, on a la déformation initiale de la corde :

${\displaystyle f(x)=y(x,0)}$

À l'instant t₁, on retrouve la même forme mais déplacée en vt₁.

La déformation s'est propagée de vt₁ pendant le temps t₁, avec une vitesse v, sans subir de déformation.

Si, à l'instant t = 0, on a affaire à une déformation de type sinusoïdale :

${\displaystyle f(x)=A\cos \left(2\pi {x \over \lambda }\right)}$

où λ est la longueur d'onde, on trouve à chaque instant :

${\displaystyle y(x,t)=A\cos \left(2\pi {x-vt \over \lambda }\right)}$

que l'on peut ré-écrire sous la forme:

${\displaystyle y(x,t)=A\cos(kx-\omega t)=\Re \left[A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (kx-\omega t)}\right]}$

où ${\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}$ est le nombre d'onde et ${\displaystyle \omega ={2\pi \nu }}$ est la pulsation.

La fréquence est donnée directement avec la vitesse par ${\displaystyle \nu ={\tfrac {v}{\lambda }}}$ et ${\displaystyle \omega =kv}$.

Recherchons une solution de l'équation d'onde qui soit harmonique dans le temps, en posant

${\displaystyle y(x,t)=u(x)\cos \omega t=\Re [u(x)e^{-i\omega t}]}$

On trouve ainsi comme équation :

${\displaystyle v^{2}{\mathrm {d} ^{2}u \over \mathrm {d} x^{2}}=-\omega ^{2}u(x)}$

d'où

${\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}u \over \mathrm {d} x^{2}}+k^{2}u(x)=0}$

avec ${\displaystyle k={\frac {\omega }{v}}}$ . La solution générale de l'équation ci-dessus est :

${\displaystyle u(x)=A\cos kx+B\sin kx}$

où A et B sont deux constantes d'intégration. Si la corde est de longueur L et fixée à ses deux extrémités (x = 0 et x = L), on doit imposer comme conditions aux limites u(0) = u(L) = 0. La première condition impose que A = 0 et la seconde donne B sin(kL) = 0.

À part la solution triviale B = 0 (qui implique u = 0, ce qui n'a aucun intérêt), cette condition est aussi satisfaite si kL = nπ. On trouve ainsi une famille de solutions :

${\displaystyle u_{n}(x)=B_{n}\sin \left(n\pi {x \over L}\right)}$.

Pour lesquelles les pulsations sont ω = nπ^v⁄_L.

Les fréquences correspondantes sont ν = n^v⁄_2L, c’est-à-dire multiple d'une fréquence fondamentale ^v⁄_2L (inverse du temps d'un aller et retour le long de la corde). Pour la présentation des effets de raideur, qui augmentent les fréquences propres d'autant plus que le numéro du mode propre est plus élevé, voir : Inharmonicité du piano.

Il existe donc une infinité de modes propres de vibration, décrits par :

${\displaystyle y(x,t)=B_{n}\sin \left(n\pi {x \over L}\right)\cos \left(n\pi {vt \over L}\right)}$

Les amplitudes B_n sont arbitraires.

La solution générale de l'équation d'onde peut s'écrire sous la forme d'un superposition de tous les modes propres :

${\displaystyle y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\sin \left(n\pi {x \over L}\right)\cos \left(n\pi {vt \over L}\right)}$

À l'instant t = 0, en particulier,

${\displaystyle y(x,0)=\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\sin \left(n\pi {x \over L}\right)}$

Si on se donne la forme initiale de la corde, c’est-à-dire si on suppose comme la fonction f(x) = y(x,0), les B_n représentent les coefficients d'une série de Fourier en sinus de f(x) :

${\displaystyle B_{n}={2 \over L}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left(n\pi {x \over L}\right)\mathrm {d} x}$.