Expérience de Melde

On considère une corde homogène de longueur L, supposée inélastique, masse linéique μ, initialement au repos et confondue avec l'axe Ox des abscisses. La corde est tendue par une tension uniforme et constante, notée T. La corde est tendue et fixée aux deux extrémités en x = 0 et en x = L.

On étudie les petits mouvements transversaux de la corde dans le plan xOy autour de sa position d'équilibre. L'élongation de la corde en un point M à l'instant t est notée y(x,t). On négligera l'action de la pesanteur devant les autres forces ainsi que toute cause d'amortissement.

Géométrie du problème.

• Système : {tronçon de corde situé entre x et x+dx}
• Référentiel : laboratoire (supposé galiléen)
• Bilan des actions extérieures :
  • Poids du tronçon : ${\displaystyle \mu \,\mathrm {d} x\,\mathrm {\vec {g}} }$ (négligé devant les autres forces) ;
  • Force (tension) exercée par la partie à gauche de ${\displaystyle A}$ : ${\displaystyle {\vec {F}}_{1}={\vec {T}}_{A}}$;
  • Force (tension) exercée par la partie à droite de ${\displaystyle B}$ : ${\displaystyle {\vec {F}}_{2}={\vec {T}}_{B}}$.
• PFD :

${\displaystyle {\vec {T}}_{A}+{\vec {T}}_{B}=\mu \,\mathrm {d} x\,{\vec {a}}}$

où ${\displaystyle {\vec {a}}}$ est l'accélération.

Projection sur l'axe Ox :

${\displaystyle -T_{A}\,\cos \alpha (x,\,t)+T_{B}\,\cos \alpha (x+\mathrm {d} x,\,t)=0}$ (car il n'y a pas de déplacement horizontal donc pas accélération).

Projection sur l'axe Oy :

${\displaystyle -T_{A}\,\sin \alpha (x,\,t)+T_{B}\,\sin \alpha (x+\mathrm {d} x,\,t)=\mu \,\mathrm {d} x\,a_{y}}$ (avec ${\textstyle a_{y}={\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}}$la composante verticale de l'accélération).

Comme on s'intéresse à de petites variations d'angles, on peut linéariser à l'ordre 1. Les deux équations précédentes deviennent alors :

$${\displaystyle {\begin{cases}&-T_{A}+T_{B}=0\\&-T_{A}\,\alpha (x,\,t)+T_{B}\,\alpha (x+\mathrm {d} x,\,t)=\mu \,\mathrm {d} x\,a_{y}\end{cases}}\quad \Longrightarrow \quad {\begin{cases}&T_{A}=T_{B}=T\\&-T\,\alpha (x,\,t)+T\,\alpha (x+\mathrm {d} x,\,t)=\mu \,\mathrm {d} x\,{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}(x,\,t)\end{cases}}.}$$

Or comme les angles sont faibles, alors on a alors à l'ordre 1: ${\displaystyle \alpha =\tan \alpha ={\frac {\partial y}{\partial x}}}$. D'où :

$${\displaystyle -T\,{\frac {\partial y}{\partial x}}(x,\,t)+T{\frac {\partial y}{\partial x}}(x+\mathrm {d} x,\,t)=\mu \,\mathrm {d} x\,{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}(x,\,t)\qquad \qquad [{\rm {Eq.\,1].}}}$$

Par ailleurs : ${\textstyle \scriptstyle {\frac {\partial y}{\partial x}}(x+\mathrm {d} x,\,t)-{\frac {\partial y}{\partial x}}(x,\,t)={\frac {\partial }{\partial x}}{\Big (}y(x+\mathrm {d} x,\,t)-y(x,\,t){\Big )}={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial y}{\partial x}}(x,t)\;\mathrm {d} x\right)={\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}(x,\,t)\;\mathrm {d} x}$. L'équation [Eq. 1] devient donc :

$${\displaystyle T\,{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}(x,\,t)=\mu \,{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}(x,\,t)\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}(x,\,t)-{\frac {\mu }{T}}\,{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}(x,\,t)=0.}$$

On reconnait une équation de d'Alembert de la forme ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}(x,\,t)-{\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}(x,\,t)=0}$, où ${\textstyle c={\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$ est homogène à une vitesse et correspond à la célérité de l'onde mécanique sur la corde[6].

Les ondes générées par le vibreur électrique sont des ondes harmoniques (sinusoïdales) unidimensionnelles, donc les solutions de l'équation de d'Alembert sont les fonctions de la forme :

${\displaystyle y(x,t)=A\,\cos \left(\omega \left[t-{\frac {x}{c}}\right]+\varphi \right)+A\,\cos \left(\omega \left[t+{\frac {x}{c}}\right]+\psi \right)}$, où ${\displaystyle A}$ est une constante réelle, ${\displaystyle c}$ est la célérité de l'onde, et ${\displaystyle \varphi }$ et ${\displaystyle \psi }$ sont les phases à l'origine.

En utilisation la formule trigonométrique de factorisation ${\textstyle \cos p+\cos q=2\cos {{p+q} \over 2}\cos {{p-q} \over 2}}$, on transforme l'expression en :

${\displaystyle y(x,t)=2\,A\,\cos \left(\omega \,t+{\frac {\varphi +\psi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\omega \,x}{c}}-{\frac {\varphi -\psi }{2}}\right)\quad \Longleftrightarrow \quad y(x,t)=B\,\cos \left(\omega \,t+\alpha \right)\cos \left({\frac {\omega \,x}{c}}-\beta \right)\qquad \qquad {\rm {[Eq.\,2].}}}$

• La corde étant fixée en ${\displaystyle x=0}$, cette condition impose ${\displaystyle y(0,t)=0\,}$quel que soit ${\displaystyle t}$, c'est-à-dire :

${\displaystyle y(0,t)=B\,\cos \left(\omega \,t+\alpha \right)\cos \beta =0\quad \forall \;t\quad \Longrightarrow \quad \cos \beta =0\quad \Longrightarrow \quad \beta ={\frac {\pi }{2}}+n\pi \qquad {\text{avec}}\qquad n\in \mathbb {N} ^{*}}$ .

L'équation [Eq. 2] devient donc:

$${\displaystyle y(x,t)=B\,\cos \left(\omega \,t+\alpha \right)\sin \left({\frac {\omega \,x}{c}}\right).}$$

• La corde étant aussi fixe en ${\displaystyle x=L}$, on a ${\displaystyle y(L,t)=0}$, soit :

${\displaystyle y(L,t)=B\,\cos \left(\omega \,t+\alpha \right)\sin \left({\frac {\omega \,L}{c}}\right)=0\quad \Longrightarrow \quad \sin \left({\frac {\omega \,L}{c}}\right)=0\quad \Longrightarrow \quad {\frac {\omega \,L}{c}}=n\,\pi \quad \Longrightarrow \quad \omega _{n}={\frac {n\,\pi \,c}{L}}\qquad {\text{avec}}\qquad n\in \mathbb {N} ^{*}}$.

Sept premiers modes propres d'une corde fixée à ses extrémités

Finalement, avec les conditions aux limites, on obtient une famille de solutions ${\displaystyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}$telles que :

$${\displaystyle y_{n}(x,t)=B_{n}\,\cos \left({\frac {n\,\pi \,c}{L}}\,t+\alpha _{n}\right)\sin \left({\frac {n\,\pi }{L}}\,x\right).}$$

[7]

Par analogie avec les oscillations libres d'un oscillateur harmonique unidimensionnel en mécanique du point, ces solutions sont appelées modes propres de la corde et leurs pulsations sont appelées pulsations propres de la corde.

On a montré que les conditions aux limites imposaient ${\displaystyle \omega _{n}=n\,{\frac {\pi \,c}{L}}}$. Les pulsations sont donc quantifiées. Cette relation s'interprète en faisant apparaître la longueur d'onde et la fréquence :

${\displaystyle L=n\,{\frac {\pi \,c}{\omega }}\quad }$ soit ${\displaystyle \quad L=n\,{\frac {\lambda }{2}}}$[8].

Cette égalité traduit le fait que pour une longueur d'onde donnée, la longueur L de la corde doit être un multiple entier d'une demi longueur d'onde pour qu'apparaissent des ondes stationnaires.

La fréquence étant liée à la pulsation par la relation ${\displaystyle \omega =2\pi \,f}$, on observe que la fréquence des oscillations ${\displaystyle f_{n}={\frac {\omega _{n}}{2\pi }}={\frac {n\,c}{2\,L}}}$ ne peut prendre qu'un certain nombre de valeurs pour qu'apparaissent des ondes stationnaires sur la corde. Toutes ces fréquences sont multiples de la fréquence fondamentale ${\displaystyle f_{1}={\frac {c}{2\,L}}}$ (fréquence minimale pour qu'une onde stationnaire apparaisse sur la corde).

• Vidéo sur l'expérience de la corde de Melde