Constante de temps

Si dans un système l'évolution temporelle d'une grandeur est exponentielle après un échelon de 1 à 0 intervenant au temps t = 0, sa valeur est par la suite

${\displaystyle f(t)=\mathrm {e} ^{\frac {-t}{\tau }}}$

où t désigne la variable temporelle.

On appelle constante de temps la grandeur τ, de dimension homologue à un temps, qui caractérise le système. La valeur 0 est asymptote, c'est-à-dire qu'elle ne serait atteinte qu'au bout d'un temps infini.

Pour un échelon d'amplitude A à partir d'une valeur B,

${\displaystyle f(t)=B+(1-\mathrm {e} ^{\frac {-t}{\tau }})\,A}$

Un système de premier ordre réagit à une excitation en échelon (d'amplitude 100) comme suit (avec B = 0 sur ce graphe) :

On a représenté en bleu l'évolution de la donnée de sortie du système. En rouge, on a la tangente en ${\displaystyle t=0}$.

Au bout du temps τ, la valeur a atteint ${\displaystyle 1-e^{-1}}$ de l'amplitude de l'échelon, soit environ 63 %.

On emploie la constante de temps pour l'étude des systèmes susceptibles d'une réponse impulsionnelle et d'une réponse fréquentielle. La fréquence de coupure est égale à ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi \tau }}}$.

Quand ce n'est pas le cas, on utilise le plus souvent une grandeur plus directement reliée à la décroissance exponentielle. On peut donner la proportion de décroissance par unité de temps, ou le temps nécessaire pour que la grandeur diminue d'une proportion donnée. Dans le cas de la décroissance radioactive, la convention est d'exprimer la décroissance de la concentration d'un isotope instable par la demi-vie, c'est-à-dire le temps nécessaire à la division par deux de la grandeur.