Relaxation de contrainte
La relaxation de contrainte est une des trois mĂ©thodes expĂ©rimentales dâanalyse de la viscoĂ©lasticitĂ© linĂ©aire, avec le fluage et les techniques dynamiques.
Dans un essai en quasi statique de relaxation, Ă partir dâun instant initial , une dĂ©formation (sollicitation) instantanĂ©e maintenue constante ou est appliquĂ©e Ă un Ă©chantillon, et la contrainte rĂ©sultante (rĂ©ponse), ou , est suivie en fonction du temps.
La relaxation est une propriĂ©tĂ© non instantanĂ©e : lorsquâon impose un Ă©chelon de dĂ©formation, du fait du caractĂšre viscoĂ©lastique du matĂ©riau, la contrainte met un certain temps Ă atteindre sa valeur finale. Le matĂ©riau retourne progressivement Ă un Ă©tat plus stable. La relaxation, comme la viscoĂ©lasticitĂ©, fait intervenir les notions de rĂ©sistance Ă lâĂ©coulement, de viscositĂ©, dâamortissement.
LâĂ©tude de ce mode de dĂ©formation courant, dĂ©pendant du temps, peut ĂȘtre rĂ©alisĂ©e en traction(-compression)[1] ou en cisaillement[2], au moyen dâun viscoanalyseur, Ă diffĂ©rentes tempĂ©ratures.
On dĂ©finit la fonction de relaxation en traction , qui est la variation de contrainte rĂ©sultant de lâapplication dâune dĂ©formation constante, par la relation :
et pour un essai de cisaillement :
- .
La fonction module de relaxation (ou plus simplement le module de relaxation) en traction est le rapport de la contrainte Ă lâinstant t Ă la dĂ©formation constante :
et la fonction module de relaxation en cisaillement sâĂ©crit :
- .
Traitement dâune expĂ©rience de relaxation par le modĂšle de Maxwell
Si le comportement du matériau est simulé en utilisant le modÚle de Maxwell (le modÚle le plus simple du liquide viscoélastique), la vitesse de déformation est donnée par :
qui est lâĂ©quation rĂ©gissant le modĂšle de Maxwell, avec :
- , la dĂ©formation longitudinale totale, Ă©gale Ă la somme de la dĂ©formation du ressort et de la dĂ©formation de lâamortisseur ;
- , une constante : le module de Young associé au ressort obéissant à la loi de Hooke[3] ;
- , la dérivée par rapport au temps de la contrainte ;
- , une constante : le coefficient de viscositĂ© associĂ© Ă lâamortisseur reprĂ©sentant le liquide newtonien.
La dĂ©formation est, par dĂ©finition, maintenue constante () lors dâune expĂ©rience de relaxation, donc :
- .
La rĂ©solution de cette Ă©quation diffĂ©rentielle avec la condition initiale donne, aprĂšs intĂ©gration, en posant (qui a la dimension dâun temps) :
- ,
montrant une décroissance exponentielle des contraintes avec le temps (elle se relaxe), avec un temps de relaxation ou temps de réponse[4], (noté aussi ), associé au modÚle ; à un temps infini, il y a relaxation totale des contraintes.
Le module de relaxation se dĂ©duit de lâĂ©quation prĂ©cĂ©dente :
- .
LâĂ©lasticitĂ© instantanĂ©e est Ă©gale Ă . Ce modĂšle prĂ©voit un module tendant vers zĂ©ro si le temps tend vers lâinfini, ce qui nâest pas rĂ©aliste.
Au cours dâun essai de relaxation, le modĂšle de Maxwell prĂ©voit :
- si t << : comportement Ă©lastique ;
- si t ~ : comportement viscoélastique ;
- si t >> : comportement visqueux.
Cette comparaison entre t, le temps d'observation et le temps caractĂ©ristique du matĂ©riau donne le nombre de Deborah. Les modĂšles de Kelvin-Voigt et de Kelvin-Voigt gĂ©nĂ©ralisĂ© ne permettent pas de dĂ©crire le comportement viscoĂ©lastique lors dâune expĂ©rience de relaxation.
La rĂ©ponse viscoĂ©lastique dâun polymĂšre est plus complexe que celle dĂ©crite par ces modĂšles rhĂ©ologiques car toutes les chaĂźnes ne se rĂ©arrangent pas dans la mĂȘme pĂ©riode de temps : la rĂ©ponse du polymĂšre est donnĂ©e en fonction dâune distribution des temps de rĂ©ponse appelĂ©e spectre de (temps de) relaxation. Ce dernier dĂ©pend de la masse molĂ©culaire, de la distribution des masses molĂ©culaires et de la ramification. Plus la masse sera faible, plus la pente de la courbe du module de relaxation sera Ă©levĂ©e.
Traitement dâune expĂ©rience de relaxation par le modĂšle de Maxwell gĂ©nĂ©ralisĂ©
Si le matĂ©riau est dĂ©crit Ă lâaide du modĂšle de Maxwell gĂ©nĂ©ralisĂ© aussi appelĂ© modĂšle de Maxwell-Wiechert, le module de relaxation en traction est la somme des modules des diffĂ©rents Ă©lĂ©ments disposĂ©s en parallĂšle ; il sâexprime sous une forme simple :
avec :
- et , les paramÚtres viscoélastiques du modÚle ;
- , le module Ă temps infini ;
- , les temps de relaxation associés aux différentes branches du modÚle.
Ce dĂ©veloppement de la fonction de relaxation en somme dâexponentielles est appelĂ© sĂ©rie de Prony[5]. La contrainte diminue de façon exponentielle avec le temps. La rĂ©ponse instantanĂ©e implique tous les Ă©lĂ©ments Ă©lastiques (ressorts) montĂ©s en parallĂšle. Lâexpression de la fonction ci-dessus sâapplique aussi bien au comportement liquide (relaxation totale) quâau comportement solide (relaxation partielle) ; dans ce dernier cas, une des branches du modĂšle de Maxwell gĂ©nĂ©ralisĂ© se rĂ©duit Ă un simple ressort de coefficient de rigiditĂ© [6], qui reprĂ©sente lâĂ©lasticitĂ© du matĂ©riau Ă temps infini. Si est nul, le comportement aux temps longs est un Ă©coulement visqueux.
- ModÚle de Maxwell généralisé.
- Principe dâune expĂ©rience de relaxation, montrant la dĂ©croissance exponentielle des contraintes.
Notes et références
- Par exemple, au milieu dâun essai de traction, on arrĂȘte de tirer sur lâĂ©prouvette.
- Par exemple, au moyen dâun rhĂ©omĂštre Ă dĂ©formation imposĂ©e (angle de rotation Ï imposĂ©), Ă plateaux parallĂšles.
- LâĂ©quation ci-dessus peut ĂȘtre appliquĂ©e au module de cisaillement G du ressort hookĂ©en.
- à ne pas confondre avec le temps de retard utilisé dans une expérience de fluage.
- Voir aussi (en) Prony series.
- J. Bouton (RhĂ©o), G. Couarraze (UniversitĂ© Paris-Sud) et J.-L. Grossiord (UniversitĂ© Paris-Sud), RhĂ©ologie et rhĂ©omĂ©trie - CaractĂ©risation de la viscositĂ©, de la plasticitĂ© et de lâĂ©lasticitĂ© des liquides et des produits pĂąteux - Lois de comportement, fascicule, 50 p., Ă©d. sociĂ©tĂ© RhĂ©o, Champlan.