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Relaxation de contrainte

La relaxation de contrainte est une des trois mĂ©thodes expĂ©rimentales d’analyse de la viscoĂ©lasticitĂ© linĂ©aire, avec le fluage et les techniques dynamiques.

Dans un essai en quasi statique de relaxation, Ă  partir d’un instant initial , une dĂ©formation (sollicitation) instantanĂ©e maintenue constante ou est appliquĂ©e Ă  un Ă©chantillon, et la contrainte rĂ©sultante (rĂ©ponse), ou , est suivie en fonction du temps.

La relaxation est une propriĂ©tĂ© non instantanĂ©e : lorsqu’on impose un Ă©chelon de dĂ©formation, du fait du caractĂšre viscoĂ©lastique du matĂ©riau, la contrainte met un certain temps Ă  atteindre sa valeur finale. Le matĂ©riau retourne progressivement Ă  un Ă©tat plus stable. La relaxation, comme la viscoĂ©lasticitĂ©, fait intervenir les notions de rĂ©sistance Ă  l’écoulement, de viscositĂ©, d’amortissement.

L’étude de ce mode de dĂ©formation courant, dĂ©pendant du temps, peut ĂȘtre rĂ©alisĂ©e en traction(-compression)[1] ou en cisaillement[2], au moyen d’un viscoanalyseur, Ă  diffĂ©rentes tempĂ©ratures.

On dĂ©finit la fonction de relaxation en traction , qui est la variation de contrainte rĂ©sultant de l’application d’une dĂ©formation constante, par la relation :

et pour un essai de cisaillement :

.

La fonction module de relaxation (ou plus simplement le module de relaxation) en traction est le rapport de la contrainte Ă  l’instant t Ă  la dĂ©formation constante :

et la fonction module de relaxation en cisaillement s’écrit :

.

Traitement d’une expĂ©rience de relaxation par le modĂšle de Maxwell

ModĂšle du liquide de Maxwell.
Illustration du principe d’une expĂ©rience de relaxation de contrainte.

Si le comportement du matériau est simulé en utilisant le modÚle de Maxwell (le modÚle le plus simple du liquide viscoélastique), la vitesse de déformation est donnée par :

qui est l’équation rĂ©gissant le modĂšle de Maxwell, avec :

, la dĂ©formation longitudinale totale, Ă©gale Ă  la somme de la dĂ©formation du ressort et de la dĂ©formation de l’amortisseur ;
, une constante : le module de Young associé au ressort obéissant à la loi de Hooke[3] ;
, la dérivée par rapport au temps de la contrainte ;
, une constante : le coefficient de viscositĂ© associĂ© Ă  l’amortisseur reprĂ©sentant le liquide newtonien.

La dĂ©formation est, par dĂ©finition, maintenue constante () lors d’une expĂ©rience de relaxation, donc :

.

La rĂ©solution de cette Ă©quation diffĂ©rentielle avec la condition initiale donne, aprĂšs intĂ©gration, en posant (qui a la dimension d’un temps) :

,

montrant une décroissance exponentielle des contraintes avec le temps (elle se relaxe), avec un temps de relaxation ou temps de réponse[4], (noté aussi ), associé au modÚle ; à un temps infini, il y a relaxation totale des contraintes.

Le module de relaxation se dĂ©duit de l’équation prĂ©cĂ©dente :

.

L’élasticitĂ© instantanĂ©e est Ă©gale Ă  . Ce modĂšle prĂ©voit un module tendant vers zĂ©ro si le temps tend vers l’infini, ce qui n’est pas rĂ©aliste.

Au cours d’un essai de relaxation, le modĂšle de Maxwell prĂ©voit :

  • si t << : comportement Ă©lastique ;
  • si t ~ : comportement viscoĂ©lastique ;
  • si t >> : comportement visqueux.

Cette comparaison entre t, le temps d'observation et le temps caractĂ©ristique du matĂ©riau donne le nombre de Deborah. Les modĂšles de Kelvin-Voigt et de Kelvin-Voigt gĂ©nĂ©ralisĂ© ne permettent pas de dĂ©crire le comportement viscoĂ©lastique lors d’une expĂ©rience de relaxation.

La rĂ©ponse viscoĂ©lastique d’un polymĂšre est plus complexe que celle dĂ©crite par ces modĂšles rhĂ©ologiques car toutes les chaĂźnes ne se rĂ©arrangent pas dans la mĂȘme pĂ©riode de temps : la rĂ©ponse du polymĂšre est donnĂ©e en fonction d’une distribution des temps de rĂ©ponse appelĂ©e spectre de (temps de) relaxation. Ce dernier dĂ©pend de la masse molĂ©culaire, de la distribution des masses molĂ©culaires et de la ramification. Plus la masse sera faible, plus la pente de la courbe du module de relaxation sera Ă©levĂ©e.

Traitement d’une expĂ©rience de relaxation par le modĂšle de Maxwell gĂ©nĂ©ralisĂ©

Si le matĂ©riau est dĂ©crit Ă  l’aide du modĂšle de Maxwell gĂ©nĂ©ralisĂ© aussi appelĂ© modĂšle de Maxwell-Wiechert, le module de relaxation en traction est la somme des modules des diffĂ©rents Ă©lĂ©ments disposĂ©s en parallĂšle ; il s’exprime sous une forme simple :

avec :

et , les paramÚtres viscoélastiques du modÚle ;
, le module Ă  temps infini ;
, les temps de relaxation associés aux différentes branches du modÚle.

Ce dĂ©veloppement de la fonction de relaxation en somme d’exponentielles est appelĂ© sĂ©rie de Prony[5]. La contrainte diminue de façon exponentielle avec le temps. La rĂ©ponse instantanĂ©e implique tous les Ă©lĂ©ments Ă©lastiques (ressorts) montĂ©s en parallĂšle. L’expression de la fonction ci-dessus s’applique aussi bien au comportement liquide (relaxation totale) qu’au comportement solide (relaxation partielle) ; dans ce dernier cas, une des branches du modĂšle de Maxwell gĂ©nĂ©ralisĂ© se rĂ©duit Ă  un simple ressort de coefficient de rigiditĂ© [6], qui reprĂ©sente l’élasticitĂ© du matĂ©riau Ă  temps infini. Si est nul, le comportement aux temps longs est un Ă©coulement visqueux.

  • ModĂšle de Maxwell gĂ©nĂ©ralisĂ©.
    ModÚle de Maxwell généralisé.
  • Principe d’une expĂ©rience de relaxation, montrant la dĂ©croissance exponentielle des contraintes.
    Principe d’une expĂ©rience de relaxation, montrant la dĂ©croissance exponentielle des contraintes.

Notes et références

  1. Par exemple, au milieu d’un essai de traction, on arrĂȘte de tirer sur l’éprouvette.
  2. Par exemple, au moyen d’un rhĂ©omĂštre Ă  dĂ©formation imposĂ©e (angle de rotation ϕ imposĂ©), Ă  plateaux parallĂšles.
  3. L’équation ci-dessus peut ĂȘtre appliquĂ©e au module de cisaillement G du ressort hookĂ©en.
  4. À ne pas confondre avec le temps de retard utilisĂ© dans une expĂ©rience de fluage.
  5. Voir aussi (en) Prony series.
  6. J. Bouton (RhĂ©o), G. Couarraze (UniversitĂ© Paris-Sud) et J.-L. Grossiord (UniversitĂ© Paris-Sud), RhĂ©ologie et rhĂ©omĂ©trie - CaractĂ©risation de la viscositĂ©, de la plasticitĂ© et de l’élasticitĂ© des liquides et des produits pĂąteux - Lois de comportement, fascicule, 50 p., Ă©d. sociĂ©tĂ© RhĂ©o, Champlan.

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