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Modèle de Maxwell

Le modèle de Maxwell décrit un matériau viscoélastique, c'est-à-dire ayant à la fois des propriétés élastiques et visqueuses. Ce modèle fut proposé par James Clerk Maxwell[1] en 1867.

Définition

Représentation schématique du modèle de Maxwell.

Le modèle de Maxwell est représenté par un amortisseur purement visqueux et un ressort hookéen mis en série comme l'indique le schéma ci-contre. Dans cette configuration, lorsqu'une contrainte axiale est appliquée, la contrainte totale et la déformation totale sont définies de la manière suivante :

où l'indice A désigne l'amortisseur et l'indice R le ressort.

Les contraintes de l'amortisseur et du ressort sont données respectivement par :

est le module élastique associé au ressort et le coefficient de viscosité associé à l'amortisseur représentant un fluide newtonien.

Dérivons la déformation totale par rapport au temps :

En notant la dérivée temporelle par un point, l'équation précédente se réécrit :

.

En multipliant cette équation par ,

on a fait apparaître le temps de relaxation de Maxwell :

.

La solution générale de l'équation de Maxwell s'écrit :

.

Le module de relaxation de la contrainte dans le cadre de ce modèle s'écrit :

avec

On peut remarquer que

est l'équation d'un cercle. Ainsi, la représentation de en fonction de , dite représentation de Cole-Cole, est un demi cercle.

Remarque : la mise en parallèle d'un ressort et d'un amortisseur donne le modèle de Kelvin-Voigt.

Modèle de Maxwell généralisé

Le modèle de Maxwell généralisé consiste à mettre en parallèle un nombre N fini d'éléments de Maxwell. Chacun de ces éléments répond aux relations énoncées ci-dessus. La contrainte totale est la somme des contraintes de chaque élément :

.

Dans ce cas, le fluide ne comporte pas qu'un seul temps de relaxation, mais une collection .

Cette équation peut se réécrire de la manière suivante :

où on a défini le module de relaxation des contraintes de cisaillement :

.

Notes

  1. Articles originaux : J.C. Maxwell, « On the dynamical theory of gases », Phil. Trans. Royal Soc., no 157, , p. 49-88 (DOI 10.1098/rstl.1867.0004) ; J.C. Maxwell, « On the dynamical theory of gases », Phil. Mag., vol. 35, no 235, , p. 129-145 et 185-217

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