Circuit RC

Soit ${\displaystyle Z_{C}(\omega )}$ l'impédance du condensateur :

${\displaystyle Z_{C}(\omega )={\frac {1}{jC\omega }}}$

La tension aux bornes de la résistance ou du condensateur peut se calculer en considérant le montage comme un diviseur de tension non chargé :

${\displaystyle V_{C}(\omega )={\frac {Z_{C}(\omega )}{Z_{C}(\omega )+R}}V_{in}(\omega )={\frac {1}{1+jRC\omega }}V_{in}(\omega )}$

${\displaystyle V_{R}(\omega )={\frac {R}{Z_{C}(\omega )+R}}V_{in}(\omega )={\frac {jRC\omega }{1+jRC\omega }}V_{in}(\omega )}$.

On notera ${\displaystyle H_{C}}$ la fonction de transfert obtenue en considérant la tension aux bornes du condensateur comme tension de sortie et ${\displaystyle H_{R}}$ si on utilise celle aux bornes de la résistance. ${\displaystyle H_{C}}$ et ${\displaystyle H_{R}}$ s'obtiennent respectivement grâce aux expressions de ${\displaystyle V_{C}}$ et ${\displaystyle V_{R}}$ :

${\displaystyle H_{C}(\omega )={V_{C}(\omega ) \over V_{in}(\omega )}={1 \over 1+jRC\omega }}$

${\displaystyle H_{R}(\omega )={V_{R}(\omega ) \over V_{in}(\omega )}={jRC\omega \over 1+jRC\omega }}$

Pour un dipôle, on peut écrire la fonction de transfert sous la forme ${\displaystyle H(\omega )=Ge^{j\varphi }\,}$, où ${\displaystyle G\,}$ est le gain du dipôle et ${\displaystyle \varphi \,}$ sa phase. Ainsi :

${\displaystyle H_{C}(\omega )=G_{C}e^{j\varphi _{C}}}$

avec

${\displaystyle G_{C}={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}}$

et

${\displaystyle \varphi _{C}=\arctan \left(-\omega RC\right)}$

De même pour ${\displaystyle H_{R}}$ :

${\displaystyle H_{R}(\omega )=G_{R}e^{j\varphi _{R}}}$

avec

${\displaystyle G_{R}={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}}$

et

${\displaystyle \varphi _{R}=\arctan \left({\frac {1}{\omega RC}}\right)}$,

Lieux de Bode de ${\displaystyle H_{C}}$

Une analyse fréquentielle du montage permet de déterminer quelles fréquences le filtre rejette ou accepte. Pour les basses fréquences, ${\displaystyle H_{C}}$ a un module proche de un et une phase proche de zéro. Plus la fréquence augmente, plus son module diminue pour tendre vers zéro et sa phase de ${\displaystyle -\pi /2}$. A contrario, ${\displaystyle H_{R}}$ possède un module proche de zéro aux basses fréquences et une phase proche de ${\displaystyle \pi /2}$ et lorsque la fréquence augmente, son module tend vers un et sa phase vers zéro.

Quand ${\displaystyle \omega \to 0}$ :

${\displaystyle G_{C}\to 1}$ et ${\displaystyle \varphi _{C}\to 0}$.

${\displaystyle G_{R}\to 0}$ et ${\displaystyle \varphi _{R}\to 90^{\circ }=\pi /2}$.

Quand ${\displaystyle \omega \to \infty }$ :

${\displaystyle G_{C}\to 0}$ et ${\displaystyle \varphi _{C}\to -90^{\circ }=-\pi /2}$

${\displaystyle G_{R}\to 1}$ et ${\displaystyle \varphi _{R}\to 0}$.

Ainsi, lorsque la sortie du filtre est prise sur le condensateur le comportement est du type filtre passe-bas : les hautes fréquences sont atténuées et les basses fréquences passent. Si la sortie est prise sur la résistance, l'inverse se produit et le circuit se comporte comme un filtre passe-haut.

La fréquence de coupure ${\displaystyle f_{c}}$ du circuit qui définit la limite à 3 dB entre les fréquences atténuées et celles qui ne le sont pas est égale à :

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}}$ (en Hz)

Pour des raisons de simplicité, l'analyse temporelle s'effectuera en utilisant la transformée de Laplace p. En supposant que le circuit est soumis à un échelon de tension d'amplitude V en entrée ( ${\displaystyle V_{in}=0\,}$ pour ${\displaystyle t=0\,}$ et ${\displaystyle V_{in}=V\,}$ sinon) :

${\displaystyle V_{in}(p)={\frac {V}{p}}}$

${\displaystyle V_{C}(p)=H_{C}(p)V_{in}(p)={\frac {1}{1+pRC}}{\frac {V}{p}}}$

${\displaystyle V_{R}(p)=H_{R}(p)V_{in}(p)={\frac {pRC}{1+pRC}}{\frac {V}{p}}}$.

La transformée de Laplace inverse de ces expressions donne :

${\displaystyle V_{C}(t)=V\left(1-e^{-t/RC}\right)}$

${\displaystyle V_{R}(t)=Ve^{-t/RC}\,}$.

Dans ce cas, le condensateur se charge et la tension à ses bornes tend vers V, tandis que celle aux bornes de la résistance tend vers 0.

Détermination graphique de ${\displaystyle \tau }$ par l'observation de ${\displaystyle V_{C}(t)}$

Le circuit RC possède une constante de temps, généralement notée ${\displaystyle \tau =RC\,}$, représentant le temps que prend la tension pour effectuer 63 % =(${\displaystyle 1-e^{-1}}$) de la variation nécessaire pour passer de sa valeur initiale à sa valeur finale.

Il est également possible de dériver ces expressions des équations différentielles décrivant le circuit :

${\displaystyle {\frac {V_{in}-V_{C}}{R}}=C{\frac {dV_{C}}{dt}}}$

${\displaystyle V_{R}=V_{in}-V_{C}\,}$.

Les solutions sont exactement les mêmes que celles obtenues par la transformée de Laplace.

À haute fréquence, c’est-à-dire si ${\displaystyle \omega \gg {\frac {1}{RC}}}$, le condensateur n'a pas le temps de se charger et la tension à ses bornes reste faible.

Ainsi :

${\displaystyle V_{R}\approx V_{in}}$

et l'intensité dans le circuit vaut donc :

${\displaystyle I\approx {\frac {V_{in}}{R}}}$.

Comme,

${\displaystyle V_{C}={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}Idt}$

on obtient :

${\displaystyle V_{C}\approx {\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{in}dt}$ .

La tension aux bornes du condensateur intègre donc la tension d'entrée et le circuit se comporte comme un montage intégrateur, c'est-à-dire comme un filtre passe-bas.

À basse fréquence, c’est-à-dire si ${\displaystyle \omega \ll {\frac {1}{RC}}}$, le condensateur a le temps de se charger quasiment complètement.

Alors,

${\displaystyle I\approx {\frac {V_{in}}{1/j\omega C}}}$

${\displaystyle V_{in}\approx {\frac {I}{j\omega C}}\approx V_{C}}$

Maintenant,

${\displaystyle V_{R}=IR=C{\frac {dV_{C}}{dt}}R}$

${\displaystyle V_{R}\approx RC{\frac {dV_{in}}{dt}}}$.

La tension aux bornes de la résistance dérive donc la tension d'entrée et le circuit se comporte comme un montage dérivateur, c'est-à-dire comme un filtre passe-haut. Donc :

${\displaystyle {\frac {V_{R}}{V_{in}}}=RC\omega }$

L'intensité du courant est la même dans tout le circuit, puisqu'il s'agit d'un circuit série :

${\displaystyle I(\omega )={\frac {V_{in}(\omega )}{R+Z_{C}}}={jC\omega \over 1+jRC\omega }V_{in}(\omega )}$

La réponse impulsionnelle est la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert correspondante et représente la réponse du circuit à une impulsion.

Pour le condensateur :

${\displaystyle h_{L}(t)={1 \over RC}e^{-t/RC}u(t)={1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}$

où ${\displaystyle u(t)\,}$ est la fonction de Heaviside et ${\displaystyle \tau \ =\ RC}$ est la constante de temps.

Pour la résistance :

${\displaystyle h_{L}(t)=-{1 \over RC}e^{-t/RC}u(t)=-{1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}$

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