Circuit RL

Dans le régime transitoire :

${\displaystyle U_{R}=R_{t}I,\quad U_{L}=L{\mathrm {d} I \over \mathrm {d} t}}$

L'équation différentielle qui régit le circuit est alors la suivante :

${\displaystyle U=L{\mathrm {d} I \over \mathrm {d} t}+R_{t}I}$

Avec :

• U la tension aux bornes du montage, en V ;
• I l'intensité du courant électrique en A ;
• L l'inductance de la bobine en H ;
• R_t la résistance totale du circuit en Ω.

La solution générale, associée à la condition initiale I_bobine(t = 0) = 0, est :

${\displaystyle I_{\mathrm {bobine} }={U \over R_{t}}(1-\mathrm {e} ^{-{t \over \tau }})}$

${\displaystyle \tau ={L \over R_{t}}}$

Avec τ la constante de temps du circuit, en s.

C'est la constante de temps τ qui caractérise la « durée » du régime transitoire. Ainsi, le courant permanent est établi à 1 % près au bout d'une durée de ${\displaystyle 4.6\tau }$.

Lorsque le courant devient permanent, l'équation se simplifie en U = RI car LdI/dt = 0.

Dans une analyse spectrale en régime sinusoïdal permanent, il faut considérer les impédances des composants en fonction de la pulsation :

${\displaystyle Z_{R}(\omega )=R,\quad Z_{L}(\omega )=jL\omega =2\pi jLf}$

où ω est la pulsation en rad.s^-1, f est la fréquence en s^-1 et j désigne l'unité imaginaire, telle que j² = -1.

On pose U_e = U la tension entrant dans le quadripôle et U_s la tension sortant du quadripôle. On a deux possibilités pour l'expression de U_s :

${\displaystyle U_{s}=U_{R}={Z_{R} \over Z_{R}+Z_{L}}U_{e}={R \over R+jL\omega }U_{e}}$

${\displaystyle U_{s}=U_{L}={Z_{L} \over Z_{R}+Z_{L}}U_{e}={jL\omega \over R+jL\omega }U_{e}}$

On note H_R(ω) et H_L(ω) les fonctions de transfert de chaque cas respectif.

${\displaystyle H_{L}(\omega )={V_{L}(\omega ) \over U_{e}(\omega )}={j{L \over R}\omega \over 1+j{L \over R}\omega }}$

La fonction de transfert peut s'écrire ${\displaystyle H_{L}(\omega )=G_{L}\mathrm {e} ^{j\varphi _{L}}}$ où G est le gain et φ_L, la phase.

Ainsi, ${\displaystyle H_{L}(\omega )=G_{L}\mathrm {e} ^{j\varphi _{L}}}$avec :

${\displaystyle G_{L}={\frac {{\frac {L}{R}}\omega }{\sqrt {1+({\frac {L}{R}}\omega )^{2}}}}}$

${\displaystyle \varphi _{L}=\arg(H)={\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {L}{R}}\omega \right)}$

Quand ω tend vers 0 :

${\displaystyle H_{L}\approx j{\frac {L}{R}}\omega \ {\textrm {donc}}\ G_{L}\to 0\ {\textrm {et}}\ \varphi _{L}\to {\frac {\pi }{2}}}$

Quand ω tend vers l'infini :

${\displaystyle G_{L}\to 1\ {\textrm {et}}\ \varphi _{L}\to 0}$

Ainsi, lorsque la sortie du filtre est prise sur la bobine le comportement est du type filtre passe-haut : les basses fréquences sont atténuées et les hautes fréquences passent.