Filtre passe-haut

Un filtre passe-haut du premier ordre est caractérisé par sa fréquence de coupure ${\displaystyle f_{c}}$ et par son gain dans la bande-passante ${\displaystyle K}$. La fonction de transfert du filtre est obtenue en dénormalisant le filtre passe-haut normalisé en remplaçant ${\displaystyle \omega _{n}}$ par ${\displaystyle \omega _{c}/\omega }$ ce qui donne la fonction de transfert suivante :

${\displaystyle H(j\omega )={\frac {v_{o}}{v_{i}}}={\frac {Kj{\frac {\omega }{\omega _{c}}}}{1+j{\frac {\omega }{\omega _{c}}}}}}$

où
${\displaystyle \omega =2\pi f}$
${\displaystyle \omega _{c}=2\pi f_{c}}$

Le module et la phase de la fonction de transfert sont égaux à :

${\displaystyle |H(\omega )|=\left|{\frac {v_{o}}{v_{i}}}\right|={\frac {K{\frac {\omega }{\omega _{c}}}}{\sqrt {1+\left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)^{2}}}}}$

${\displaystyle \phi (\omega )=\arg H(j\omega )={\frac {\pi }{2}}-\arg \left(1+j{\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)}$

Il y a plusieurs méthodes pour implémenter ce filtre. Une réalisation active et réalisation passive sont ici présentées. K est le gain du filtre.

Schéma d’un filtre passe-haut

La manière la plus simple de réaliser physiquement ce filtre est d'utiliser un circuit RC. Comme son nom l'indique, ce circuit est constitué d'un condensateur de capacité ${\displaystyle C}$ et d'une résistance ${\displaystyle R}$. Ces deux éléments sont placés en série avec la source ${\displaystyle v_{i}}$ du signal. Le signal de sortie ${\displaystyle v_{o}}$ est récupéré aux bornes de la résistance. Le circuit est identique à celui du filtre passe-bas mais les positions de la résistance et du condensateur sont inversées. Pour retrouver la fonction de transfert de ce filtre, il faut travailler dans le domaine de Laplace en utilisant les impédances des éléments. Avec cette technique, le circuit devient un simple diviseur de tension, et on obtient :

${\displaystyle H(j\omega )={\frac {v_{o}}{v_{i}}}={\frac {jRC\omega }{1+jRC\omega }}}$

Dans cette équation, ${\displaystyle j}$ est un nombre complexe, tel que j² = -1, et ${\displaystyle \omega }$ est la pulsation du circuit ou fréquence radiale, exprimée en rad/s. Comme la fréquence de coupure d'un circuit RC est :

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}}$ ou ${\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{RC}}}$

Ici ${\displaystyle \omega _{c}}$, la pulsation de coupure, est également la pulsation propre ${\displaystyle \omega _{o}}$ du circuit, elle est également l'inverse de la constante de temps ${\displaystyle \tau }$ du circuit. Ainsi, on obtient bel et bien la fonction de transfert typique du filtre passe-haut du premier ordre.

On retrouve avec les grandeurs physiques observables utilisées dans les diagrammes de Bode :

Diagramme de Bode d'un filtre passe haut (système du 1^er ordre)

• Le gain en décibels :

${\displaystyle G_{dB}(\omega )=20\cdot \log |H(j\omega )|=20\cdot \log \left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)-10\cdot \log \left(1+{\left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)}^{2}\right)}$

• La phase en radians :

${\displaystyle \phi (\omega )=\arg H(\omega )={\frac {\pi }{2}}-\arg \left(1+j{\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)}$

${\displaystyle ={\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)}$

On distingue alors deux situations idéales :

• Lorsque ${\displaystyle \omega \ll \omega _{c}}$ :

${\displaystyle G_{dB}\sim 20\cdot \log \left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)}$ et ${\displaystyle \phi \simeq 90}$ (Le signal est filtré)

• Lorsque ${\displaystyle \omega \gg \omega _{c}}$ :

${\displaystyle G_{dB}\simeq 0}$ et ${\displaystyle \phi \simeq 0}$ (Le filtre est passant)

On remarque que pour ${\displaystyle \omega =\omega _{c}}$, on a ${\displaystyle G_{dB}}$ = -3 dB.

Un filtre passe-haut du second ordre est caractérisé par sa fréquence propre ${\displaystyle f_{o}}$ et par le facteur de qualité Q. Il est représenté par la fonction de transfert suivante :

${\displaystyle H(j\omega )={\frac {v_{o}}{v_{i}}}={\frac {-K({\frac {\omega }{\omega _{0}}})^{2}}{1-({\frac {\omega }{\omega _{0}}})^{2}+j{\frac {({\frac {\omega }{\omega _{0}}})}{Q}}}}}$

où
${\displaystyle \omega =2\pi f\,}$
${\displaystyle \omega _{o}=2\pi f_{o}\,}$

Le module de la fonction de transfert est donc égal à :

${\displaystyle |H(\omega )|={\biggl |}{\frac {v_{o}}{v_{i}}}{\biggr |}={\frac {|K|{\Bigl (}{\frac {\omega }{\omega _{0}}}{\Bigr )}^{2}}{\sqrt {{\Bigl (}1-({\frac {\omega }{\omega _{0}}})^{2}{\Bigr )}^{2}+{\Biggl (}{\frac {\frac {\omega }{\omega _{0}}}{Q}}{\Biggr )}^{2}}}}}$

La manière la plus simple de réaliser physiquement ce filtre est d'utiliser un circuit RLC. Comme son nom l'indique, ce circuit est constitué d'une résistance ${\displaystyle R}$, d'un condensateur de capacité ${\displaystyle C}$ et d'une bobine d'inductance ${\displaystyle L}$. Ces trois éléments sont placés en série avec la source ${\displaystyle v_{i}}$ du signal. Le signal de sortie ${\displaystyle v_{o}}$ est récupéré aux bornes de la bobine. Pour retrouver la fonction de transfert de ce filtre, il faut travailler dans le domaine de Laplace en utilisant les impédances des éléments. Avec cette technique, le circuit devient un simple diviseur de tension, et on obtient :

${\displaystyle H(j\omega )={\frac {v_{o}}{v_{i}}}={\frac {-LC\omega ^{2}}{1+jRC\omega -LC\omega ^{2}}}}$

Avec :

${\displaystyle \omega _{o}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

${\displaystyle Q={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}}$

Le module de ce circuit est :

${\displaystyle |H(\omega )|={\biggl |}{\frac {v_{o}}{v_{i}}}{\biggr |}={\frac {|K|LC\omega ^{2}}{\sqrt {R^{2}C^{2}{\omega }^{2}+{\big (}1-LC{\omega }^{2})^{2}}}}}$