Mouvement supraluminique

Schéma du cas développé.

Supposons un jet relativiste qui se dirige à l'extérieur d'un noyau d'une galaxie active selon l'axe AB avec une vitesse v. L'observateur se trouve au point O. Au temps ${\displaystyle t_{1}}$ un rayon lumineux quitte le jet du point A et un autre rayon quitte le jet à un temps ${\displaystyle t_{2}}$ du point B. L'observateur au point O perçoit les deux rayons à des temps respectifs ${\displaystyle t_{1}^{\prime }}$ et ${\displaystyle t_{2}^{\prime }}$. L'angle ${\displaystyle \phi }$ qui correspond au prolongement de la vision de l'observateur avec les points A et B. Considérant la distance du jet observé, les deux prolongements appelés ${\displaystyle D_{L}}$ peuvent être considérés comme égaux[13].
Si ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière et que le décalage entre les deux émissions est noté ${\displaystyle t_{2}-t_{1}=\delta t}$, nous avons :

${\displaystyle AB=v\delta t}$

${\displaystyle AC=v\delta t\cos \theta }$

${\displaystyle BC=v\delta t\sin \theta }$

${\displaystyle t_{1}'=t_{1}+{\frac {D_{L}+v\delta t\cos \theta }{c}}}$

${\displaystyle t_{2}'=t_{2}+{\frac {D_{L}}{c}}}$

${\displaystyle \delta t'=t_{2}'-t_{1}'=t_{2}-t_{1}-{\frac {v\delta t\cos \theta }{c}}=\delta t-{\frac {v\delta t\cos \theta }{c}}=\delta t(1-\beta \cos \theta )}$, où ${\displaystyle \beta =v/c}$

${\displaystyle \delta t={\frac {\delta t'}{1-\beta \cos \theta }}}$

${\displaystyle BC=D_{L}\sin \phi \approx \phi D_{L}=v\delta t\sin \theta \Rightarrow \phi D_{L}=v\sin \theta {\frac {\delta t'}{1-\beta \cos \theta }}}$

La vitesse transversale apparente sur ${\displaystyle CB}$, ${\displaystyle v_{\text{T}}={\frac {\phi D_{L}}{\delta t'}}={\frac {v\sin \theta }{1-\beta \cos \theta }}}$

${\displaystyle \beta _{\text{T}}={\frac {v_{\text{T}}}{c}}={\frac {\beta \sin \theta }{1-\beta \cos \theta }}.}$

La vitesse transversale apparente est maximale pour des angles entre (${\displaystyle 0<\beta <1}$)

${\displaystyle {\frac {\partial \beta _{\text{T}}}{\partial \theta }}={\frac {\partial }{\partial \theta }}\left[{\frac {\beta \sin \theta }{1-\beta \cos \theta }}\right]={\frac {\beta \cos \theta }{1-\beta \cos \theta }}-{\frac {(\beta \sin \theta )^{2}}{(1-\beta \cos \theta )^{2}}}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow \beta \cos \theta (1-\beta \cos \theta )^{2}=(1-\beta \cos \theta )(\beta \sin \theta )^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow \beta \cos \theta (1-\beta \cos \theta )=(\beta \sin \theta )^{2}\Rightarrow \beta \cos \theta -\beta ^{2}\cos ^{2}\theta =\beta ^{2}\sin ^{2}\theta \Rightarrow \cos \theta _{\text{max}}=\beta }$

${\displaystyle \Rightarrow \sin \theta _{\text{max}}={\sqrt {1-\cos ^{2}\theta _{\text{max}}}}={\sqrt {1-\beta ^{2}}}={\frac {1}{\gamma }}}$, où ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$

${\displaystyle \therefore \beta _{\text{T}}^{\text{max}}={\frac {\beta \sin \theta _{\text{max}}}{1-\beta \cos \theta _{\text{max}}}}={\frac {\beta /\gamma }{1-\beta ^{2}}}=\beta \gamma }$

Si ${\displaystyle \gamma \gg 1}$ (par exemple, si la vitesse du jet approche celle de la lumière) alors ${\displaystyle \beta _{\text{T}}^{\text{max}}>1}$ malgré le fait que ${\displaystyle \beta <1}$. Évidemment, ${\displaystyle \beta _{\text{T}}>1}$ signifie que la vitesse transversale apparente le long de ${\displaystyle CB}$, la seule vitesse que l'on mesure dans le ciel, est plus grande que la vitesse de la lumière dans le vide. De ce fait, le mouvement parait supraluminique.

• Vitesse supraluminique
• Jet (astrophysique)

• (en) John Biretta, « Hubble Detects Faster-Than-Light motion in Galaxy M87 », Space Telescope Science Institute, Baltimore, ND, 1999, pp.1. 
• (en) Florentin Smarandache, « There Is No Speed Barrier in the Universe and One Can Construct any Speed »