Téléportation quantique

En 2009, des chercheurs américains ont transféré de manière instantanée l'état quantique d'un atome d'ytterbium vers un autre[1], à un mètre de distance[2]. Une expérience précédente n'avait permis de « franchir » que quelques millimètres. C'est la seule téléportation qui ait été expérimentalement mise en œuvre.

En 2016, deux équipes de chercheurs ont réussi à téléporter l'état quantique d'un photon sur des distances respectives de 6 et 12 km de fibres optiques. Ces expérimentations ont été rendues possible grâce au phénomène d'intrication quantique[3].

En 2017, la presse a annoncé que des physiciens en Chine ont mis en place le projet QUESS (Quantum Experiments at Space Scale, « Expériences quantiques à l'échelle spatiale »), aboutissant au record de distance de téléportation quantique avec un effet EPR via des paires de photons « intriqués » transmises par un satellite (le satellite Mozi, nommé en l’honneur d'un philosophe chinois du même nom). Cette expérience a montré qu'un effet EPR était toujours présent même si les photons intriqués étaient répartis entre deux villes, ici Delingha et Lijiang, distantes d'environ 1 200 km. Un mois plus tard, ils battent le record de la distance de téléportation, atteignant 1 400 km. Les états quantiques ont été téléportés entre des paires de photons distantes de 500 à 1 400 km, selon la position du satellite par rapport à la source de photons au sol, installée à Ngari, au Tibet. Personne avant eux n'avait réalisé une téléportation quantique entre le sol et l'espace[4].

Circuit quantique représentant la téléportation quantique

Nous entrons enfin dans le vif du sujet, à savoir le principe de la téléportation quantique.

Il est de tradition d’appeler les protagonistes d’un scénario de communication Alice et Bob.

Alice dispose d’un qubit ${\displaystyle \vert \psi _{A}\rangle =\alpha \vert 0_{A}\rangle +\beta \vert 1_{A}\rangle }$ qu’elle souhaite transmettre à Bob. Elle dispose pour cela de deux canaux : un canal classique et un canal quantique dit EPR, en référence au paradoxe Einstein-Podolsky–Rosen[5]. On précisera ultérieurement le sens d’une telle dénomination lorsque l’on présentera la téléportation quantique dans le régime des variables continues.

À ce stade, il suffit amplement de dire qu’il s’agit d’un canal composé de deux qubits maximalement intriqués, et dont l’état s’écrit :

${\displaystyle \vert \phi _{AB}^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\vert 0_{A}0_{B}\rangle +\vert 1_{A}1_{B}\rangle \right]\neq \vert \phi _{A}\rangle \otimes \vert \phi _{B}\rangle }$.

En effet, pour un tel état, il est impossible de factoriser l’état de la paire de qubits sous la forme d’un produit tensoriel. Cette inséparabilité se traduit par de très fortes corrélations sur les résultats de mesure qu’il est impossible d’expliquer par des modèles classiques. On peut regarder à ce propos l’article sur l'expérience d'Aspect.

Alice qui souhaite communiquer à Bob , l’état de son qubit sans être importunée par les indiscrétions d’Eve, applique à son qubit ${\displaystyle \vert \psi _{A}\rangle }$ et au qubit de la part intriquée de l’algorithme quantique suivant :

A) L’état initial du qubit d’Alice et de la paire intriquée s’écrit

${\displaystyle \vert initial\rangle =\vert \psi _{A}\rangle \otimes \vert \phi _{AB}^{+}\rangle }$.

B) On fait interagir le qubit d’Alice avec le qubit EPR qu’elle détient via une porte cNOT dont le qubit de contrôle est le qubit d’Alice ${\displaystyle \vert \psi _{A}\rangle }$. L’état intermédiaire se met alors sous la forme suivante :

${\displaystyle \vert inter.\rangle ={\frac {\alpha }{\sqrt {2}}}\vert 0_{A}\rangle \left[\vert 0_{A}0_{B}\rangle +\vert 1_{A}1_{B}\rangle \right]+{\frac {\beta }{\sqrt {2}}}\vert 1_{A}\rangle \left[\vert 1_{A}0_{B}\rangle +\vert 0_{A}1_{B}\rangle \right]}$

C) Ensuite, Alice fait subir à son qubit une opération d'Hadamard ${\displaystyle H_{d}}$ qui donne le résultat final :

${\displaystyle {\begin{matrix}\left\vert final\right\rangle &=&{\frac {1}{2}}\left\vert 0_{A}0_{A}\right\rangle \left(\alpha \left\vert 0_{B}\right\rangle +\beta \left\vert 1_{B}\right\rangle \right)\\&+&{\frac {1}{2}}\left\vert 0_{A}1_{A}\right\rangle \left(\beta \left\vert 0_{B}\right\rangle +\alpha \left\vert 1_{B}\right\rangle \right)\\&+&{\frac {1}{2}}\left\vert 1_{A}0_{A}\right\rangle \left(\alpha \left\vert 0_{B}\right\rangle -\beta \left\vert 1_{B}\right\rangle \right)\\&-&{\frac {1}{2}}\left\vert 1_{A}1_{A}\right\rangle \left(\beta \left\vert 0_{B}\right\rangle -\alpha \left\vert 1_{B}\right\rangle \right)\end{matrix}}}$

On constate alors que l’état du qubit d’Alice est téléporté sur le qubit de Bob dans 25 % des cas lorsque Alice mesure pour ces deux qubits les états binaires 0. Dans les autres cas, Alice doit transmettre à Bob le résultat de ces mesures, appelées mesures de Bell, afin que ce dernier puisse achever la téléportation. La théorie de la relativité restreinte d’Einstein n’est donc pas violée puisque la communication des résultats des mesures de Bell se fait par un canal classique.

En effet, on montre sans difficulté que les états de Bob correspondant à chaque possibilité sont identiques à l’état du qubit d’Alice à une opération unitaire près.

Par exemple, lorsque Alice projette ses deux qubits sur l’état ${\displaystyle \vert 0_{A}1_{A}\rangle }$, l’état de Bob se retrouve alors dans l’état ${\displaystyle \sigma _{x}\vert \psi _{A}\rangle }$, où ${\displaystyle \sigma _{x}}$ désigne une des matrices de Pauli sur laquelle il est possible de décomposer tout opérateur hermitien (c'est-à-dire qu'une observable physique est représentée en physique quantique par un opérateur hermitien garantissant ainsi des valeurs propres réelles qui sont les grandeurs mesurables).

Enfin, il faut souligner que le théorème de non-clonage quantique est respecté puisque le qubit d’Alice est complètement réduit lors des opérations et des mesures d’Alice.

Ce schéma a été proposé en 1993 par Charles Bennett[6] (alors chez IBM) sous une autre forme plus générale consistant à projeter les EPR et qubits à téléporter sur des états intriqués appelés « états de Bell ».

L’une des premières réalisations expérimentales de la téléportation quantique en variables discrètes a été réalisée par l'équipe d'Anton Zeilinger en 1997[7].

Une paire de photons intriqués est produite par conversion paramétrique spontanée et dégénérée en fréquence dans un cristal non linéaire ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$. Il s'agit d'une conversion de type II puisque l’accord de phase est assuré par biréfringence. L’impulsion de pompage est polarisée parallèlement à l’axe extraordinaire. Les photons signal et complémentaire sont alors émis suivant des polarisations orthogonales suivant deux cônes de fluorescence paramétrique.

L’intersection de ces deux cônes conduit à des photons intriqués en polarisation qui sont en fait dans un état antisymétrique de Bell :

${\displaystyle \vert \psi _{23}^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\vert h\rangle _{2}\vert v\rangle _{3}-\vert v\rangle _{2}\vert h\rangle _{3}\right]}$,

où h et v désignent respectivement les états de polarisation horizontale et verticale.

Le but de l’expérience est alors de projeter le photon à téléporter et le photon intriqué sur ce même état de Bell antisymétrique par des mesures de coïncidence à l’issue d’une lame séparatrice 50/50.

Les deux détecteurs de part et d’autre de la lame cliquent en même temps lorsque les deux photons sont soit simultanément transmis, soit simultanément réfléchis. On montre alors que les photons peuvent être dans un état intriqué de la forme ${\displaystyle \vert \psi _{12}^{-}\rangle }$, ce qui suffit à assurer la téléportation puisque :

${\displaystyle \vert \psi _{12}^{-}\rangle \langle \psi _{12}^{-}\vert \times \vert \psi _{1}\rangle \otimes \vert \psi _{23}^{-}\rangle =-{\frac {1}{2}}\vert \psi _{12}^{-}\rangle \otimes \vert \psi _{1}\rangle _{3}}$.

Le qubit de Bob se retrouve bien dans l’état du qubit d’Alice ${\displaystyle \vert \psi _{1}\rangle }$ dans 25 % des cas. On doit le vérifier en plaçant un cube séparateur de polarisation orienté à +/- 45 ° par rapport aux états de polarisations verticales et horizontales. Il y a téléportation pour la triple coïncidence à l’issue de la lame séparatrice d’Alice et sur la voie adéquate du cube de Bob[8].

Aujourd’hui, ce protocole est implémenté en optique quantique dans le régime des variables dites continues par opposition au régime des variables discrètes abordé précédemment qui se caractérise entre autres par le comptage des photons.

Dans le régime des variables continues, on ne peut plus distinguer les photons individuellement : ils arrivent par « bouffées » contenant un très grand nombre de photons ${\displaystyle \thicksim 10^{23}}$ rendant l’approche par comptage complètement inimaginable !

La première réalisation expérimentale d’une telle téléportation a été réalisée par l’équipe de H. J. Kimble au Caltech aux États-Unis par Akira Furusawa en 1998[9].

Avant d’aborder le principe de cette expérience qui, aujourd’hui est devenue routinière en optique quantique, il est utile de préciser quelques notions liées aux variables continues.

Dans cette section, nous allons établir le lien très simple existant entre la compression de deux faisceaux et l’intrication de ces derniers. Pour cela, on considère deux faisceaux comprimés en amplitude selon des quadratures orthogonales en incidence sur une lame séparatrice 50/50 (SP). On notera ${\displaystyle A_{1}}$ et ${\displaystyle A_{2}}$ ces faisceaux incidents, et ${\displaystyle A_{a}}$ et ${\displaystyle A_{b}}$ les faisceaux émergents. La relation d'entrée sortie de la lame séparatrice donne :

${\displaystyle A_{1}={\frac {A_{a}+A_{b}}{\sqrt {2}}},A_{2}={\frac {A_{a}-A_{b}}{\sqrt {2}}}}$

Si les faisceaux incidents sont comprimés de manière adéquate, on trouve en termes des variances :

${\displaystyle V\left(q_{1}\right)={\frac {V\left(q_{a}+q_{b}\right)}{2}},V\left(p_{2}\right)={\frac {V\left(p_{a}-p_{b}\right)}{2}}}$

Dans le cas d'une compression en amplitude maximale (${\displaystyle V\left(q_{1},p_{2}\right)\rightarrow 0}$), on obtient deux faisceaux parfaitement corrélés en amplitude et anti-corrélés en phase. Il s’agit en fait de faisceaux EPR puisqu’une mesure sur l’un des faisceaux permet de déterminer l’état de l’autre même s'il est séparé spatialement du premier.

Enfin, il existe deux méthodes remarquables pour produire des états comprimés. Il s'agit de l'effet Kerr et de l'amplification paramétrique. Dans le premier cas, l'effet Kerr modifie la forme du disque des fluctuations du vide en une ellipse oblique globalement comprimée en amplitude. Pour l'amplification paramétrique, la configuration la plus efficace est de se placer sous le seuil d'oscillation (i.e. les pertes de la cavité ne sont plus compensées par la pompe) et en dégénérescence de fréquence. On obtient alors du vide comprimé en sortie.

Nous allons maintenant aborder le principe de la téléportation quantique en variables continues comme l'illustre la figure.

Alice reçoit un faisceau d'amplitude complexe ${\displaystyle \alpha _{in}=x_{in}+ip_{in}}$ dont elle souhaite transférer à Bob l'état des quadratures x et p sans ajout de bruit. Pour cela, elle combine le faisceau à téléporter sur une lame séparatrice 50/50 (SP) avec un des faisceaux intriqués (1). Alice mesure les quadratures de phase x et d'amplitude p (à l'aide de détection homodyne) à la sortie de la séparatrice (SP) :

${\displaystyle x={\frac {x_{in}+x_{1}}{\sqrt {2}}}=g_{x}i_{x},p={\frac {p_{in}-p_{1}}{\sqrt {2}}}=g_{p}i_{p}}$

Ces résultats sont ensuite transmis à Bob par l'intermédiaire de canaux classiques, ici des courants électriques directement proportionnels aux résultats des mesures. Bob effectue alors des modulations de phase (MP) et d'amplitude (MA), à l'aide de modulateurs électro-optiques notamment, sur un faisceau annexe qu'il a en sa disposition au préalable. Il combine ce faisceau modulé à l'autre faisceau intriqué (2) à l'aide d'un miroir de très forte réflectivité (99 %). Bob dispose donc d'un faisceau de sortie dont l'amplitude complexe s'écrira :

${\displaystyle \alpha _{out}=\alpha _{2}+{\sqrt {2}}\left(g_{x}i_{x}+ig_{p}i_{p}\right)=\alpha _{in}+\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(p_{2}-p_{1}\right)}$

Enfin, si les faisceaux (1) et (2) sont parfaitement intriqués :

${\displaystyle V\left(x_{1}+x_{2}\right),V\left(p_{1}-p_{2}\right)\rightarrow 0}$,

le faisceau de sortie se retrouve exactement dans l'état du faisceau d'entrée :

${\displaystyle \vert \alpha _{out}\rangle =\vert \alpha _{in}\rangle }$

On parle alors de « téléportation quantique des quadratures du champ ».

Il est nécessaire d'introduire un critère pour juger de la qualité d'une téléportation. Il s'agit de la fidélité ${\displaystyle F}$ définie par :

${\displaystyle F=\langle \psi _{in}\vert {\widehat {\rho }}_{out}\vert \psi _{in}\rangle \leqslant 1}$

où ${\displaystyle {\widehat {\rho }}_{out}}$ désigne la matrice densité caractérisant l'état téléporté.

On montre[8] que la fidélité de la téléportation est donnée par :

${\displaystyle F={\frac {2}{\sqrt {\left(2+V\left(x_{1}+x_{2}\right)\right)\left(2+V\left(p_{2}-p_{1}\right)\right)}}}}$

On constate que si l'on remplace les faisceaux EPR par des états cohérents, la fidélité atteint à peine 1/2 qui fixe la limite entre la téléportation classique utilisant des corrélations classiques et la téléportation quantique où le recours à l'intrication quantique est indispensable.

D'autre part, une fidélité supérieure à 2/3 garantit l'unicité de la copie de Bob : aucune autre meilleure copie ne peut exister ! Il s'agit en fait d'une conséquence du théorème de non-clonage quantique[10] qui est à la base de la sécurité de ce genre de protocole de communication quantique.

Enfin, la première tentative de A. Zeilinger ne constitue pas vraiment une téléportation quantique, comme l'ont remarqué H. J. Kimble et al dans un commentaire[11] de l'article initial. En effet, le calcul de la fidélité de cette téléportation conduit à une valeur de 1/2, ce qui ne correspond pas à une téléportation quantique. Il existe également une réponse des Autrichiens à ce commentaire.

Dans cette configuration, trois protagonistes interviennent : Alice, Bob et Claire. Ils partagent trois faisceaux intriqués 1, 2 et 3 dans un état dit de Greenberger - Horne - Zeilinger (GHZ). Ce canal se caractérise par les valeurs propres suivantes :

${\displaystyle p_{1}+p_{2}+p_{3}=0,\,x_{1}-x_{2}=0}$

pour les mêmes combinaisons des opérateurs de quadratures.

On montre de la même manière que précédemment que cet état intriqué permet d'avoir une téléportation quantique entre Alice et Bob sous le contrôle de Claire[12]. Ainsi, lorsque le gain de la transmission entre Bob et Claire est nul, la téléportation est strictement classique et se retrouve même dégradée par rapport à la fidélité limite de 1/2 caractérisant la frontière entre la limite classique et quantique où l'intrication devient indispensable.

Ce type de téléportation quantique peut être très intéressant en cryptologie quantique puisque Claire contrôle le transfert de l'information quantique entre Alice et Bob.

Actuellement, on s'attache à produire et à téléporter le plus fidèlement possible des états fortement non classiques comme des superpositions d'états cohérents incompatibles : chats de Schrödinger ${\displaystyle \vert \psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\vert \alpha \rangle +\left\vert -\alpha \right\rangle \right]}$ ou des états intriqués. Dans ce dernier cas, on parle d'entanglement swapping pouvant atteindre des fidélités de l'ordre de 0,75 [13], surpassant ainsi la valeur seuil de 2/3 liée au théorème de non-clonage quantique.

Le protocole de téléportation quantique s'inscrit dans une perspective plus ambitieuse consistant à la mise en œuvre de réseaux de communication quantique dans lesquelles on transfère l'état d'un système quantique fragile sur une mémoire quantique plus robuste vis-à-vis de la décohérence[14]. D'intenses recherches se concentrent donc sur la réalisation de ces relais quantiques, mais également sur les possibilités d'augmenter ou de distiller (en) l'intrication de canaux EPR qui sont inévitablement soumis à des pertes en ligne. À partir de plusieurs canaux EPR affaiblis que l'on distille, on obtient un plus petit nombre de canaux plus fortement intriqués, rendant la téléportation quantique plus efficace et plus sûre[15] - .

Dans les œuvres de fictions (science-fiction notamment) il est parfois fait allusion à la téléportation, technologie imaginaire de déplacement instantané. Cette notion ne doit pas être assimilée ou confondue avec la téléportation quantique, phénomène physique réel décrit ici.