Effet Kerr

Le champ de polarisation ${\displaystyle \mathbf {P} }$ présent dans le matériau dépend du champ électrique ${\displaystyle \mathbf {E} }$ appliqué d'une façon non linéaire[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} &=\mathbf {P} ^{(1)}+\mathbf {P} ^{(2)}+\mathbf {P} ^{(3)}+\dots \\&=\varepsilon _{0}\left(\chi ^{(1)}\mathbf {E} +\chi ^{(2)}:\mathbf {EE} +\chi ^{(3)}:\mathbf {EEE} +\dots \right),\end{aligned}}}$

où ε₀ est la constante diélectrique du vide et ${\displaystyle \chi ^{(n)}}$ le tenseur de susceptibilité électrique d'ordre n du milieu (tenseur d'ordre n+1). Pour un milieu linéaire, seul le premier terme existe. L´effet Kerr est un effet non linéaire lié au troisième terme. Ce dernier est d´autant plus significatif que le second est nul, ce qui est le cas pour les matériaux qui présentent une symétrie spatiale au niveau moléculaire, appelée centrosymétrie. En se plaçant dans cette situation, le vecteur polarisation a pour expression, au troisième ordre :

${\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\left(\chi ^{(1)}\mathbf {E} +\chi ^{(3)}:\mathbf {EEE} \right)}$.

En considérant comme champ électrique la somme de deux composantes, l'une composante continue et l'autre variant à la fréquence ${\displaystyle \omega }$, ici supposées parallèles et notées

${\displaystyle \mathbf {E} (t)=\mathbf {E} _{0}+\mathbf {E} _{\omega }=\left[E_{0}+E_{\omega }\cos(\omega t)\right]{\mathbf {e} }_{z}}$,

puis en se restreignant au cas où ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$ est diagonal, et ensuite en insérant cette expression dans celle de ${\displaystyle \mathbf {P} ^{(3)}}$, on obtient la relation

${\displaystyle \mathbf {P} ^{(3)}(t)=\chi ^{(3)}\left[E_{0}^{3}+3E_{0}^{2}E_{\omega }\cos(\omega t)+3E_{0}E_{\omega }^{2}\cos ^{2}(\omega t)+E_{\omega }^{3}\cos ^{3}(\omega t)\right]\mathbf {e} _{z}~~(1),}$

en ayant noté ${\displaystyle \chi ^{(3)}=\chi _{zzzz}^{(3)}}$.

L´effet Kerr statique correspond au terme proportionnel à l´intensité ${\displaystyle E_{0}^{2}}$ du champ statique. En ne considérant que ce terme non linéaire, la composante de pulsation ${\displaystyle \omega }$ de la polarisation du milieu, notée ${\displaystyle \mathbf {P} _{\omega }}$ a pour expression

${\displaystyle \mathbf {P} _{\omega }=\varepsilon _{0}\chi \mathbf {E} _{\omega },}$

avec ${\displaystyle \chi =\chi ^{(1)}+\Delta \chi _{s}}$,

où ${\displaystyle \chi ^{(1)}=\chi _{zz}^{(1)}}$ et ${\displaystyle \Delta \chi _{s}=3\chi ^{(3)}E_{0}^{2}}$.

Ce résultat montre que la susceptibilité électrique présente un nouveau terme (contenant ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$) par rapport au cas où le matériau est linéaire. L'indice de réfraction ${\displaystyle n}$ étant lié à ${\displaystyle \chi }$ par la relation ${\displaystyle n=(1+\chi )^{1/2}}$, cette variation se traduit par une biréfringence dans le sens du champ électrique valant [2]

${\displaystyle \Delta n={\frac {\Delta \chi _{s}}{2n_{0}}}={\frac {3}{2}}{\frac {\chi ^{(3)}E_{0}^{2}}{n_{0}}}}$, pour ${\displaystyle \Delta n\ll n_{0}}$, avec ${\displaystyle n_{0}=(1+\chi ^{(1)})^{1/2}}$.

On obtient donc

${\displaystyle \Delta n=\lambda K|E_{0}|^{2},}$

avec ${\displaystyle K={\frac {3}{2}}{\frac {\chi ^{(3)}E_{0}^{2}}{n_{0}\lambda }}}$, où ${\displaystyle \lambda }$ est la longueur d'onde dans le vide de la lumière considérée et ${\displaystyle K}$ est la constante de Kerr du matériau.

La valeur de ${\displaystyle K}$ dépend du composé : elle vaut notamment environ 9.4×10^-14 m.V^-2 pour l'eau, et est particulièrement élevée pour certains liquides polaires comme le nitrotoluène et le nitrobenzène (4.4×10^-12 m V^-2).

Une cellule de verre contenant un liquide de grande constante de Kerr, appelée alors cellule Kerr, permet d'exploiter l'effet Kerr pour réaliser une modulation de l'intensité lumineuse, car cet effet répond suffisamment rapidement aux variations du champ électrique : cette méthode permet une modulation à une fréquence de 100 GHz. De telles cellules, à cause de la relative faiblesse de l'effet Kerr, requièrent une tension de 30 kV pour ne pas absorber la lumière. De ce point de vue, l'effet Pockels est plus efficace, car il requiert une tension moins importante. De plus, le meilleur matériau disponible, le nitrobenzène, est toxique et explosif.

De même que l'effet Kerr statique, cet effet d'optique non linéaire apparaît au troisième ordre. En reprenant l´ensemble des termes de l'expression (1) obtenue pour ${\displaystyle \mathbf {P} ^{(3)}(t)}$ lors de la présentation de l´effet Kerr statique, le terme proportionnel à ${\displaystyle E_{\omega }^{3}}$ s´écrit [8]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} ^{(3)}(t)&=\varepsilon _{0}\chi ^{(3)}E_{\omega }^{3}\cos ^{3}{(\omega t)}\mathbf {e} _{z}\\\ &={\frac {1}{4}}\varepsilon _{0}\chi ^{(3)}E_{\omega }^{3}\left[\cos {(3\omega t)}+3\cos {(\omega t)}\right]\mathbf {e} _{z}.\end{aligned}}}$

Le terme correspondant à l'effet Kerr optique est celui de pulsation ${\displaystyle \omega }$ dans l'expression obtenue. En ne conservant que ce terme ainsi que celui d'ordre 1, on obtient

${\displaystyle \mathbf {P} _{\omega }=\varepsilon _{0}\chi \mathbf {E} _{\omega },}$

avec ${\displaystyle \chi =\chi ^{(1)}+\Delta \chi _{o},}$

où ${\displaystyle \Delta \chi _{o}={\frac {3}{4}}\chi ^{(3)}E_{\omega }^{2}}$.

En procédant de manière similaire à celle utilisée pour l´étude de l´effet Kerr statique, on obtient une biréfringence dans le sens du champ électrique d´amplitude

${\displaystyle \Delta n={\frac {\Delta \chi _{o}}{2n_{0}}}={\frac {3}{8}}{\frac {\chi ^{(3)}E_{\omega }^{2}}{n_{0}}}}$, pour ${\displaystyle \Delta n\ll n_{0}}$.

L'effet Kerr optique intervient dans le phénomène d'autofocalisation, impliqué dans le fonctionnement d'un laser femtoseconde, ainsi que dans l'automodulation de phase, permettant la production de solitons optiques, utilisés dans les télécommunications par fibre optique.