Pseudo-télépathie quantique

L'utilisation de la pseudo-télépathie quantique permet à Alice et Bob de gagner la partie toujours et sans aucune communication une fois la partie commencée.

Cela nécessite qu'Alice et Bob possèdent deux paires de particules avec des états intriqués. Ces particules sont préparées avant le début de la partie. Une particule de chaque paire est détenue par Alice et l'autre par Bob, elles ont donc chacune deux particules. Lorsqu'Alice et Bob apprennent quelle colonne et quelle ligne ils doivent remplir, chacun utilise ces informations pour sélectionner les mesures qu'ils doivent effectuer sur leurs particules. Le résultat des mesures apparaîtra à chacun d'eux comme étant aléatoire (et la distribution de probabilité partielle observée de l'une ou l'autre des particules sera indépendante de la mesure effectuée par l'autre partie), de sorte qu'aucune véritable « communication » n'a lieu.

Cependant, le processus de mesure des particules fournit une structure suffisante à la distribution de probabilité conjointe des résultats de la mesure pour que, si Alice et Bob choisissent leurs actions en fonction des résultats de leur mesure, alors il existe un ensemble de stratégies et de mesures permettant de gagner avec probabilité 1.

Alice et Bob peuvent être à des années-lumière l'un de l'autre, et les particules intriquées leur permettront quand même de coordonner suffisamment leurs actions pour gagner la partie avec certitude.

Chaque tour de ce jeu utilise un état intriqué. Jouer N tours nécessite N états intriqués (2N paires de Bell indépendantes, voir ci-dessous) qui doivent être partagés à l'avance. En effet, chaque tour nécessite de mesurer 2 bits d'informations (la troisième entrée est déterminée par les deux premières, il n'est donc pas nécessaire de la mesurer). Comme la mesure détruit l'intrication, il n’y a pas moyen de réutiliser les mesures de jeux précédents.

La solution consiste pour Alice et Bob à partager un état quantique intriqué et à utiliser des mesures spécifiques sur leurs composants de l'état intriqué pour en déduire les entrées du tableau. Un état corrélé approprié consiste en une paire d'états de Bell intriqués :

${\displaystyle \left|\varphi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|+\right\rangle _{a}\otimes \left|+\right\rangle _{b}+\left|-\right\rangle _{a}\otimes \left|-\right\rangle _{b}{\bigg )}\otimes {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|+\right\rangle _{c}\otimes \left|+\right\rangle _{d}+\left|-\right\rangle _{c}\otimes \left|-\right\rangle _{d}{\bigg )}}$

où ${\displaystyle \left|+\right\rangle }$ et ${\displaystyle \left|-\right\rangle }$ sont des états propres de l'opérateur de Pauli S_x avec des valeurs propres +1 et -1 respectivement, tandis que les indices a, b, c et d identifient les composants de chaque état de Bell, avec a et c allant à Alice, et b et d allant à Bob. Le symbole ${\displaystyle \otimes }$ représente le produit tensoriel.

Les observables pour ces composantes peuvent être écrites comme des produits de matrices de spin de Pauli :

${\displaystyle S_{x}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},S_{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},S_{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$.

Les produits de ces opérateurs de spin de Pauli peuvent être utilisés pour remplir le tableau 3 × 3 de sorte que chaque ligne et chaque colonne contienne un ensemble d'observables mutuellement commutant avec des valeurs propres +1 et -1, et le produit des observables de chaque ligne étant l'opérateur d'identité, et le produit des observables dans chaque colonne équivalant à l'opérateur d'identité nié. Il s'agit d'un carré magique dit de Mermin-Peres . Il est montré dans le tableau ci-dessous :

${\displaystyle +I\otimes S_{z}}$	${\displaystyle +S_{z}\otimes I}$	${\displaystyle +S_{z}\otimes S_{z}}$
${\displaystyle +S_{x}\otimes I}$	${\displaystyle +I\otimes S_{x}}$	${\displaystyle +S_{x}\otimes S_{x}}$
${\displaystyle -S_{x}\otimes S_{z}}$	${\displaystyle -S_{z}\otimes S_{x}}$	${\displaystyle +S_{y}\otimes S_{y}}$

En effet, s'il n'est pas possible de construire un tableau 3 × 3 avec des entrées +1 et -1 telles que le produit des éléments de chaque ligne est égal à +1 et le produit des éléments de chaque colonne est égal à -1, il est possible de le faire avec la structure algébrique plus riche basée sur des matrices de spin.

Le jeu se déroule en demandant à chaque joueur de faire une mesure de sa part de l'état intriqué à chaque tour de jeu. Chacune des mesures d'Alice lui donnera les valeurs d'une ligne, et chacune des mesures de Bob lui donnera les valeurs d'une colonne. C'est possible parce que tous les observables d'une ligne ou d'une colonne commutent, il existe donc une base dans laquelle ils peuvent être mesurés simultanément. Pour la première ligne d'Alice, elle doit mesurer ses particules dans la base ${\displaystyle S_{z}}$, pour la deuxième rangée, elle doit les mesurer dans la base ${\displaystyle S_{x}}$, et pour la troisième ligne, elle doit les mesurer sur une base intriquée. Pour la première colonne de Bob, il doit mesurer sa première particule dans la base ${\displaystyle S_{x}}$ et la seconde dans la base ${\displaystyle S_{z}}$ ; pour la deuxième colonne, il doit mesurer sa première particule dans la base ${\displaystyle S_{z}}$ et la seconde dans la base ${\displaystyle S_{x}}$, et pour sa troisième colonne, il doit mesurer ses deux particules dans une base intriquée différente, la base de Bell. Tant que le tableau ci-dessus est utilisé, les résultats de mesures donnent toujours le produit +1 pour Alice le long de sa ligne et -1 pour Bob dans sa colonne. Bien sûr, chaque tour complètement nouveau nécessite un nouvel état intriqué, car les différentes lignes et colonnes ne sont pas compatibles les unes avec les autres.

Dans le jeu classique, Alice, Bob et Carol peuvent utiliser une stratégie déterministe qui aboutit toujours à une somme impaire (par exemple Alice donne toujours 1. Bob et Carol donnent toujours 0). Les joueurs gagnent 75% du temps et ne perdent que si les questions sont ${\displaystyle (0,0,0)}$ .

En fait, c'est la meilleure stratégie gagnante dans le cas classique. On ne peut satisfaire qu'au plus 3 conditions gagnantes sur 4. Soient en effet ${\displaystyle a_{0},a_{1}}$ la réponse d'Alice à la question 0 et 1 respectivement, ${\displaystyle b_{0},b_{1}}$ la réponse de Bob à la question 0, 1 et ${\displaystyle c_{0},c_{1}}$ être la réponse de Carol à la question 0, 1. On peut écrire les contraintes que doivent satisfaire les conditions gagnantes comme :

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}+b_{0}+c_{0}=0{\bmod {2}}\\&a_{1}+b_{1}+c_{0}=1{\bmod {2}}\\&a_{1}+b_{0}+c_{1}=1{\bmod {2}}\\&a_{0}+b_{1}+c_{1}=1{\bmod {2}}\end{aligned}}}$

S'il existait une stratégie classique qui satisfait les quatre conditions gagnantes, les quatre conditions doivent être remplies. Or, chaque terme apparaît deux fois sur le côté gauche. Par conséquent, la somme du côté gauche des équations est 0 mod 2. Or, la somme du côté droit est égal à 1 mod 2. Les quatre conditions gagnantes ne peuvent donc pas être satisfaites simultanément.

On suppose maintenant qu'Alice, Bob et Carol ont décidé d'adopter une stratégie quantique. Les trois partagent désormais un état tripartite enchevêtré

${\displaystyle |{\psi }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle +|111\rangle )}$,

connu sous le nom d'état GHZ.

Si la question 0 est reçue, le joueur effectue une mesure dans la base X ${\textstyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$ . Si la question 1 est reçue, le joueur effectue une mesure dans la base Y ${\textstyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +i|1\rangle ),{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -i|1\rangle )\right\}}$ . Dans les deux cas, les joueurs répondent 0 si le résultat de la mesure est le premier état de la paire, et répondent 1 si le résultat est le deuxième état de la paire.

Il est facile de vérifier qu'avec cette stratégie les joueurs gagnent la partie avec probabilité 1.