Théorème de Kochen-Specker

Le théorème KS est un élément important dans le débat sur l'(in)complétude de la mécanique quantique, relancé en 1935 par le paradoxe EPR. Ce paradoxe découle de l'hypothèse qu'un résultat est fixé de manière déterministe par un élément de réalité physique existant indépendamment du processus de mesure, une propriété appartenant en propre à l'objet microscopique visé. Dans l'article, il était posé que la valeur mesurée d'une observable pouvait indiquer un tel élément de réalité physique. La question ne changeant rien aux pratiques de la physique, la critique d'EPR n'a pas été vraiment prise en considération d'autant plus que dans sa réponse[6] Bohr avait pointé une ambiguïté : pour avoir l'effet supposé, on considérait qu'un changement de base locale ne modifiait pas les mesures distantes, alors que cela avait changé le contexte global. Selon Bohr, prendre en compte le caractère contextuel d'une mesure invaliderait donc le raisonnement d'EPR mais Einstein[7] a alors fait observer que cette dépendance contextuelle impliquerait une non-localité (« spooky action at a distance »), et que, par conséquent, il faudrait accepter l'incomplétude si l'on voulait éviter la non-localité.

Dans les années 1950 et 1960, deux pistes s'ouvrent pour traiter la question à partir d'un théorème "no-go" de von Neumann[8] entendant prouver l'impossibilité de théories à variables cachées reproduisant les résultats de la mécanique quantique.

D'un côté, le développement par David Bohm de la théorie de De Broglie-Bohm mène John Bell aux inégalités de Bell explorant les conditions de non-localité et faisant entrer la question dans le domaine du testable expérimentalement.

De l'autre, l'approche de Kochen-Specker traite la question indépendamment de toute référence à la localité et explore les conditions d'indépendance au dispositif de mesure, la non-contextualité. La contextualité de la mécanique quantique est ici liée à l'incompatibilité d'observables correspondant à l'exclusion mutuelle des dispositifs de mesure, l'impossibilité de mesurer simultanément certaines observables. Le théorème de Kochen-Specker stipule qu'aucun modèle à variable cachée non-contextuel ne peut reproduire les prédictions de la théorie quantique lorsque la dimension de l'espace de Hilbert est de trois ou plus.

Bell avait soumis à une revue une preuve de ce théorème dès 1964 mais son article, perdu sur le bureau d'un rédacteur pendant deux ans, ne fut publié qu'en 1966. Des preuves plus simples que celle de Kochen–Specker ont été données plus tard, entre autres, par David Mermin (en)[9] - [10] et par Asher Peres (en)[11] mais beaucoup n'établissent le théorème que pour les espaces de Hilbert de dimension supérieure, par exemple à partir de la dimension quatre.

Le premier test expérimental de contextualité a été réalisé en 2000[12] et une version sans failles de détection, de netteté et de compatibilité a été réalisée en 2022[13].

Le théorème KS explore s'il est possible de plonger un ensemble d'observables de la mécanique quantique dans un ensemble de quantités classiques, bien que celles-ci soient, elles, mutuellement compatibles. La première observation faite dans l'article de Kochen-Specker est que c'est possible de manière triviale en ignorant la structure algébrique de l'ensemble des observables en mécanique quantique.

En effet, soit p_A(a_k) la probabilité que l'observable A ait la valeur a_k, alors le produit Π_A p_A(a_k), pris sur toutes les observables possibles A, est une distribution de probabilité jointe valide, donnant toutes les probabilités des observables de la mécanique quantique en prenant des marginales. Kochen et Specker notent que cette distribution de probabilité conjointe n'est cependant pas acceptable, car elle ignore toutes les corrélations entre les observables. Ainsi, en mécanique quantique A² vaut a_k² si A vaut a_k, ce qui implique que les valeurs de A et A² sont fortement corrélées.

Plus généralement, il est exigé par Kochen et Specker que pour une fonction arbitraire f la valeur ${\displaystyle v{\big (}f(\mathbf {A} ){\big )}}$ d'une observable ${\displaystyle f(\mathbf {A} )}$ satisfasse

${\displaystyle v{\big (}f(\mathbf {A} ){\big )}=f{\big (}v(\mathbf {A} ){\big )}.}$

Si A ₁ et A ₂ sont des observables compatibles, alors, du même coup, on devrait avoir les deux égalités suivantes :

${\displaystyle v(c_{1}\mathbf {A} _{1}+c_{2}\mathbf {A} _{2})=c_{1}v(\mathbf {A} _{1})+c_{2}v(\mathbf {A} _{2}),}$

${\displaystyle c_{1}}$ et ${\displaystyle c_{2}}$ réels, et

${\displaystyle v(\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2})=v(\mathbf {A} _{1})v(\mathbf {A} _{2}).}$

La condition de compatibilité est une restriction considérable de l'hypothèse de von Neumann qui tenait la première égalité pour valable que A ₁ et A ₂ soient compatibles ou pas. Kochen et Specker ont prouvé qu'une attribution de valeur n'est pas possible même sur la base de ces hypothèses plus strictes. Pour ce faire, ils ont restreint les observables aux observables dites oui-non, n'ayant que les valeurs 0 et 1, correspondant à des opérateurs de projection sur des vecteurs propres de certaines bases orthogonales d'un espace de Hilbert.

Pour un espace de Hilbert au moins tridimensionnel, ils ont pu exhiber un ensemble de 117 opérateurs de projection dont les valeurs ne pouvaient pas être fixées à 0 ou 1 de manière univoque : de par les interrelations, fixer la valeur d'un opérateur contraint celle des autres avec finalement des incompatibilités où un élément de l'ensemble devrait être à la fois à 0 et à 1 pour satisfaire ses liens aux autres opérateurs.

Le principe peut être illustré de manière plus simple en dimension 4 où il est possible d'obtenir un résultat similaire avec seulement 18 opérateurs de projection[14].

Soient u ₁, u ₂, u ₃ et u ₄ , quatre vecteurs orthogonaux d'une base orthogonale dans l'espace de Hilbert à quatre dimensions, alors les opérateurs de projection P ₁, P ₂, P ₃, P ₄ sur ces vecteurs commutent tous entre eux (et donc correspondent à des observables compatibles, permettant une attribution simultanée des valeurs 0 ou 1). Puisque

${\displaystyle \mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{3}+\mathbf {P} _{4}=\mathbf {I} ,}$

il suit :

${\displaystyle v(\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{3}+\mathbf {P} _{4})=v(\mathbf {I} )=1.}$

Et comme :

${\displaystyle v(\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{3}+\mathbf {P} _{4})=v(\mathbf {P} _{1})+v(\mathbf {P} _{2})+v(\mathbf {P} _{3})+v(\mathbf {P} _{4}),}$

il découle de ${\displaystyle v(\mathbf {P} _{i})}$ = 0 ou 1, ${\displaystyle i=1,\ldots ,4}$, que sur les quatre valeurs ${\displaystyle v(\mathbf {P} _{1}),v(\mathbf {P} _{2}),v(\mathbf {P} _{3}),v(\mathbf {P} _{4})}$ l'un doit être 1, tandis que les trois autres doivent être 0.

Cabello[15] - [16] étendant un argument développé par Kernaghan [17] a considéré 9 bases orthogonales, chaque base correspondant à une colonne du tableau suivant, dans lequel les vecteurs de base sont explicitement affichés. Les bases sont choisies de manière que chaque projecteur apparaisse dans exactement deux contextes de mesure, établissant ainsi des relations fonctionnelles entre les contextes.

Il s'avère qu'il est impossible de placer une valeur, soit un 1, soit un 0, dans chaque case du tableau de telle manière que :

(a) la valeur 1 apparaît exactement une fois par colonne, les autres entrées de la colonne étant 0 ;

(b) les cases de même couleur contiennent la même valeur - soit les deux contiennent 1, soit les deux contiennent 0.

Pour le prouver, il suffit de poser la question : combien de fois la valeur 1 doit-elle apparaître dans le tableau ?

La condition (a) implique que 1 doit apparaître 9 fois puisqu'il y a 9 colonnes et que 1 doit apparaître exactement une fois par colonne.

La condition (b) implique que 1 doit apparaître un nombre pair de fois puisque les cases vont par paires de même couleur, et si un membre d'une paire contient 1, alors l'autre doit aussi contenir 1.

Donc (a) et (b) sont des conditions contradictoires, l'une demandant 9 fois le nombre 1 et l'autre demandant qu'il apparaisse un nombre pair de fois. Aucune distribution de 1 et de 0 ne peut satisfaire les deux.

La preuve du théorème de Bell sous la forme des inégalités CHSH peut également être convertie en preuve du théorème KS en dimension supérieure ou égale à 4. Dans cette configuration, on doit traiter 24 opérateurs de projection : 4 mesures x 4 résultats (4 paires de doubles mesures simultanées dans chaque bras de l'expérience) + 4 mesures x 2 résultats (les deux doubles mesures dans chaque bras de l'expérience).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kochen–Specker theorem » (voir la liste des auteurs).