Théorie de De Broglie-Bohm

Bohm propose d'écrire la fonction d'onde sous la forme ${\displaystyle \Psi (t,{\vec {r}})=R(t,{\vec {r}})e^{i{\frac {S(t,{\vec {r}})}{\hbar }}}}$, avec ${\displaystyle S}$ et ${\displaystyle R}$ des fonctions à valeurs réelles.

Il propose de définir sa théorie avec ces trois postulats[3] :

1. La fonction d'onde ${\displaystyle \Psi }$ est considérée comme étant un champ réel et objectif, et non comme une entité purement mathématique. Elle obéit à l'équation de Schrödinger : ${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi (t,{\vec {r}})}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\vec {\nabla }}^{2}\Psi (t,{\vec {r}})+V(t,{\vec {r}})\Psi (t,{\vec {r}})}$.
2. L'impulsion est définie comme étant ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {\nabla }}S}$. La vitesse de ces particules est donc déterminée, en l'absence de champ électromagnétique, comme étant ${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {{\vec {\nabla }}S}{m}}}$, où ${\displaystyle m}$ est la masse de la particule.
3. On ne peut pas prédire ou contrôler la position précise de la particule, mais on a, en pratique, la densité de probabilité de présence de la particule ${\displaystyle P(t,{\vec {r}})=\left\vert \Psi (t,{\vec {r}})\right\vert ^{2}=R^{2}(t,{\vec {r}})}$.

Par ailleurs, la théorie est interprétée avec les propriétés suivantes[3] :

• On suppose qu'il existe — indépendamment du champ ${\displaystyle \Psi }$ — des particules qui possèdent des coordonnées dans l'espace qui sont toujours bien définies et qui évoluent de manière déterministe.
• On suppose que la particule réagit non seulement au potentiel classique ${\displaystyle V(t,{\vec {r}})}$ mais aussi à un « potentiel quantique » additionnel ${\displaystyle U(t,{\vec {r}})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {{\vec {\nabla }}^{2}R}{R}}}$.

Ces propriétés définissent la « version déterministe » de la théorie, publiée en 1952. Une « version stochastique », introduite par Bohm et Vigier en 1954 et présentée par Bohm comme « définitive »[3], est caractérisée par un axiome défini de la manière suivante :

5. Le champ ${\displaystyle \Psi }$ est en fait dans un état de fluctuation aléatoire et chaotique telle que la valeur de ${\displaystyle \Psi }$ définie par l'équation de Schrödinger constitue une moyenne de ces fluctuations. Ces fluctuations proviennent d'un niveau sous-jacent, de la même manière que les fluctuations du mouvement brownien proviennent d'un niveau atomique plus profond.

L'équation de Schrödinger peut se décomposer en deux équations en identifiant la partie réelle et la partie imaginaire de ${\displaystyle \Psi =Re^{i{\frac {S}{\hbar }}}}$. En l'absence de champ électromagnétique :

${\displaystyle {\begin{cases}{\partial P \over \partial t}+\operatorname {div} \left(P{\vec {v}}\right)=0\\-{\partial S \over \partial t}={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V(t,{\vec {r}})+U(t,{\vec {r}})\end{cases}}}$

avec ${\displaystyle P(t,{\vec {r}})=\left\vert \Psi (t,{\vec {r}})\right\vert ^{2}=R(t,{\vec {r}})^{2}}$ et ${\displaystyle U(t,{\vec {r}})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {{\vec {\nabla }}^{2}R}{R}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\left[{\frac {{\vec {\nabla }}^{2}P}{P}}-{1 \over 2}{\frac {\left({\vec {\nabla }}P\right)^{2}}{P^{2}}}\right]}$.

La première équation est l'équation de continuité où la vitesse est définie comme étant proportionnelle au courant de probabilité ${\displaystyle {\vec {J}}=P{{\vec {\nabla }}S \over m}=P{\vec {v}}}$.

La seconde équation est une équation d'Hamilton-Jacobi dans le cas où ${\displaystyle S}$ est l'action du système. En effet, on remarque que dans la limite classique (${\displaystyle \hbar \longrightarrow 0}$, ou plus exactement ${\displaystyle \hbar \ll S}$) le potentiel ${\displaystyle U(t,{\vec {r}})}$ disparait et on retrouve l'équation de la mécanique hamiltonienne avec l'impulsion identifiée comme étant ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {\nabla }}S}$.

Cette interprétation de la mécanique quantique est qualifiée de théorie à variables cachées, bien que ses tenants rejettent cette appellation. John Stewart Bell, le principal bohmien jusqu'aux années 1990, s'exclamait :

« L'absurdité, c'est que ces théories sont appelées des théories « à variables cachées ». C'est une absurdité car ici, ce n'est pas dans la fonction d'onde que l'on trouve une image du monde visible, et des résultats des expériences, mais dans ces variables « cachées »(!) complémentaires. (...) La plus cachée des variables, dans cette image de l'onde pilote, c'est la fonction d'onde, qui ne se manifeste à nous que par son influence sur les variables complémentaires. »[4]

Jean Bricmont a résumé par cette formule la théorie de Bohm :

« Comment la théorie de Bohm échappe-t-elle aux différents théorèmes d'impossibilité ? C'est d'une simplicité déroutante: les "variables cachées" ici sont simplement les positions des particules. C'est une théorie de la matière en mouvement. Jamais aucun argument n'a été avancé pour montrer que l'introduction de ces variables-là était impossible. »[5]

Avant même la démonstration de la violation des inégalités de Bell[6] avec l'expérience d'Aspect qui interdisent les théories locales à variables cachées, cette interprétation non seulement supposait la non-localité (Bell a en fait montré que la mécanique quantique était par nature non locale), mais la rendait explicite : « C'est un mérite de la version de de Broglie-Bohm qu'elle amène si explicitement la non-localité qu'on ne puisse en faire abstraction. »[7]

En réalité, de Broglie soulignait déjà le caractère non local de la mécanique quantique dans thèse en 1924.

Si la théorie est déterministe, comment compose-t-elle avec le caractère probabiliste des équations de la mécanique quantique ? Dürr, Goldstein et Zanghì (1993) expliquent que ce qui paraît aléatoire dans chaque contexte expérimental ne l'est pas dans un univers bohmien. Les lois statistiques de Born seraient des manifestations locales d'un état d'équilibre quantique universel.

Dans l'interprétation de Copenhague, la métaphore du cylindre est couramment employée pour décrire la situation de l'expérimentateur. Les particules ont à la fois les propriétés d'une onde et d'une particule, tout comme ce cylindre a à la fois les propriétés d'un cercle et d'un rectangle. Dans la théorie de Bohm, le potentiel quantique remplit ce rôle explicatif : la particule est guidée par le potentiel quantique.

Chaque prédiction confirmée par les lois de Born ne confirme pas du même coup que le monde quantique est décidément imprévisible dans le détail ; elle confirme, par un renversement du référentiel, que c'est le moment de l'expérimentation et les particules spécifiques étudiées à ce moment donné qui sont aléatoires. Dans la physique bohmienne, il n'y a a priori qu'une fonction d'onde : celle de l'univers[8].

De même, le principe d'indétermination (ou d'incertitude) de Heisenberg est confirmé, mais pas au sens où on l'entend généralement (on ne peut connaître la vitesse et la position d'une particule parce qu'il n'y a pas en fait de particule et de trajectoire à proprement parler, mais une entité duelle, décrite par des notions antinomiques, la dualité onde-corpuscule) mais au sens où toute « mesure », toute expérimentation, s'inscrit de façon non déterminée dans un univers aux particules dotées de trajectoires déterministes[8].

Ainsi, devant le paradoxe des fentes de Young (voir ci-dessous), la particule détient les informations relatives à l'ensemble de l'appareillage ; la particule « sait », par le biais de la fonction d'onde, quand une des fentes est obstruée. Il ne suffit pas de dire qu'une particule passe par une seule fente (selon le modèle de Bohm, c'est ce qui se passe). L'événement est plus complètement défini par le couple particule-potentiel quantique. Basil Hiley, confrère de Bohm, décrit la particule comme un cœur et le potentiel quantique comme une sorte de « blob » l'entourant qui détient ou se définit par les informations sur l'ensemble de l'appareillage entourant la particule. Les entités étudiées par la théorie de Bohm sont ce couplage entre les particules telles qu'on les (mé)connaît et le potentiel quantique. Une sorte de pulsation[9] entre le local et le non-local anime le monde des particules[10].

La notion d'information est essentielle à la compréhension de ce potentiel quantique. En effet, contrairement aux champs connus en physique, ce n'est pas la force du champ, mais sa forme, qui détermine son action. Son action ne décroît pas avec la distance. Il est plutôt analogue à la cause formelle, telle que définie par Aristote[11] - [12].

Il n'est nullement question d'une information anthropocentrique, existant par l'Esprit (ou le système établi par l'expérimentateur) qui l'appréhendera, mais d'une in-formation, d'un processus d'inscription dans les formes, appelé holomouvement.

« If one looks at the position of Niels Bohr (...) it is argued, because of the problem of separating the observed from the observing apparatus (...) that you have to move away from mechanism into some kind of organism or organicism. In that context you can still maintain a particle with the wave influencing the particle. The wave now seems to have a new quality; it is like an informational field. But when you go to relativity, even this view becomes difficult to maintain. We are not sure whether there is a permanent structure of electrons and whether they are always following continuous trajectories. So maybe something deeper is involved. The wave function approach was maintained because it managed to provide a KIND of ontology, but the individuality could not be fitted into the Cartesian category. There is a contradiction. David Bohm and myself were addressing the question of alternative categories for QM. In that context Bohm had the idea of implicate and explicate order. The particle now was a series of unfoldements from a more deeper structure which we call holomovement. » -- Basil Hiley[13]

S'il faut désigner cette « conscience » qui anime la particule, Hiley (en) parlera de protoconscience[10]. Dans le holisme bohmien, l'information est de même nature, tant au niveau des particules que dans les autres domaines (biologie, philosophie de l'esprit, notamment). C'est pourquoi, dans cette perspective, le terme « protoconscience » est employé à bon escient et non pas métaphoriquement, pour décrire la particule dans son environnement.

En raison de l'introduction de ce potentiel quantique fondé sur la notion d'information, la théorie de Bohm est, à proprement parler, une théorie sur l'esprit et la matière[14].

Comme l'indique Bohm, la notion d'information active n'est pas nouvelle, c'est son utilisation dans le champ de la physique des particules qui l'est. Parmi les quatre causes aristotéliciennes, c'est la cause formelle qui correspond à l'information active de Bohm[11]. Si les explications ont été données en termes de poussées et de tractions (« pushing and pulling ») dans la physique classique, si bien d'autres phénomènes hors du domaine de la physique ont pu être compris selon ces termes, cela ne veut pas dire, selon les bohmiens, qu'il s'agit de la forme d'interaction la plus fondamentale[11] : l'information, en biologie moléculaire comme en sociologie, semble plus explicative.

David Peat résume :

« contrairement à tous les autres potentiels, [le potentiel quantique a des effets] qui ne dépendent pas de la force ou de la « grandeur » du potentiel mais uniquement de sa forme. C'est pour cette raison que des objets lointains peuvent exercer une influence forte sur le mouvement de l'électron »[15]

L'information active de la théorie de Bohm est un principe à l'œuvre dans le monde subatomique, mais est également présent dans les autres domaines :

• en biologie, chaque unité cellulaire, qui détient l'information sur l'ensemble de l'organisme — acide désoxyribonucléique (ADN) —, devient sélectivement active selon sa place au sein de l'organisme ;
• en neurologie, l'information est disséminée partout dans le cerveau, et les localisations cérébrales servent à extraire certaines informations ;
• en botanique, Hiley rapproche l'information active des champs morphogénétiques[16] ;
• en philosophie, chaque conscience accède à la totalité, mais reste une partie organique du tout.

L'image de l'hologramme s'avère particulièrement éloquente. Une plaque holographique montrant une pomme en trois dimensions, si elle est brisée en deux moitiés, ne montrera pas deux moitiés de pommes, mais deux pommes. Répéter le processus n'y changera rien, la pomme demeurera, en autant d'exemplaires, quoiqu'avec une perte graduelle de résolution de l'image. Chaque partie de la plaque contient toutes les informations sur l'ensemble et s'organise en fonction du tout. C'est le passage de la lumière dans la ou les plaques qui active l'information[10].

Cette influence à distance est démontrée de façon simple avec le dispositif suivant.

La figure d'interférence entre deux faisceaux d'électrons peut être modifiée par la présence d'un champ magnétique en dehors des trajectoires classiques des électrons.

Si, dans un dispositif de Young utilisant des particules chargées, nous plaçons un champ magnétique strictement délimité dans l'espace, isolé pour qu'il ne se propage pas jusqu'aux particules émises par le dispositif, la figure d'interférence observée sur l'écran sera modifiée comme si ce champ magnétique s'étendait jusqu'aux particules passant par les fentes. Ainsi, les particules semblent « savoir » qu'il y a un champ magnétique, même si, techniquement, il n'est pas « là », sur leur trajectoire. Peut-être plus étonnamment encore, des variations du champ magnétique feront varier la figure d'interférence. Il s'agit d'une démonstration expérimentale de ce potentiel quantique, qui renseigne la particule sur l'ensemble du dispositif expérimental, sans qu'il y ait d'interaction électromagnétique[10].

Figure d'interférence constituée petit à petit

Trajectoires bohmiennes sous l'influence du potentiel quantique dans l'expérience des fentes d'Young

Quand l'expérience des fentes de Young est réalisée à l'aide d'une source à photons uniques, la figure d'interférence est constituée progressivement, point par point, chaque photon émis venant compléter la figure. Cette figure ne peut théoriquement se former que si chaque photon interfère avec lui-même. Les théories quantiques les plus communément admises, basées sur les principes de superposition quantique et de décohérence, supposent donc que le photon passe simultanément par les deux fentes.

Bohm et De Broglie proposent plutôt que chaque particule ne passe que par un seul des deux trous. Par contre l'onde pilote passe par les deux trous et interfère avec elle-même. Les photon sont guidé par l'onde pilote et, celle-ci formant une figure d'interférence, ils se retrouvent à former « malgré eux » la figure d'interférence créée par l'onde pilote.

En 2011, l'expérience de Steinberg et coll[17], qualifiée de percée de la physique en 2011 (Physics Breakthrough of the Year)[18], semble reproduire les trajectoires prédites par la théorie de De Broglie-Bohm[17].

Divers articles estiment que cette expérience indique que les particules semblent en effet avoir des trajectoires et être guidées par une onde pilote (ou un potentiel quantique)[19] - [20] - [21].

L'expérience paradigmatique des fentes de Young est d'une telle étrangeté que Feynman la considérait comme centrale dans la compréhension, ou du moins l'appréhension, du monde quantique. En se basant sur l'interprétation de de Broglie-Bohm, des chercheurs sont parvenus à faire apparaître des comportements analogues à ceux des particules devant ce dispositif, mais avec des gouttes de liquide un million de fois plus grandes que la plus grande molécule étudiée jusqu'à présent dans ce contexte, le fullérène (60 atomes de carbone).

Lorsqu'un liquide est agité verticalement, de haut en bas, à une certaine vitesse, il se forme sur la surface des ondes de Faraday, qui forment des motifs réguliers[22] - [23]. L'équipe d'Yves Couder, dans une série d'expériences, a observé le comportement de gouttes déposées sur un liquide agité juste en deçà du seuil où se forment les ondes de Faraday, et ce de manière que ces gouttes puissent rester indéfiniment en suspension au-dessus de la surface du liquide[24]. Si deux gouttes en suspension ou plus sont formées, elles « communiquent » via leurs « champs ondulatoires », à distance, et forment des paires et des motifs et adoptent des trajectoires coordonnées[25](pour des photographies et une analyse de cette série d'études, voir Bush (2010)[26]). Couder et Fort ont ensuite soumis ces corpuscules de taille millimétrique à une expérience des fentes de Young adaptée[27]. Ils observèrent que les gouttes, même si elles ne passaient que par une seule fente, produisaient, peu à peu, des figures d'interférence (« avec elles-mêmes »), tout comme les particules le font à l'échelle dite quantique. Selon les chercheurs et John WM Bush[26] - [28], mathématicien au MIT, les ondes qui pilotent ces gouttes bien plus massives que le fullerène sont à proprement parler des ondes pilotes :

« Le principal attrait (de la théorie de de Broglie-Bohm) est qu'elle rétablit le réalisme et le déterminisme dans la mécanique quantique, sa faiblesse est que la nature physique de ce champ d'onde pilote reste obscure. À l'époque où la théorie de l'onde pilote a été développée et supplantée par l'interprétation de Copenhague, qui allait devenir l'interprétation standard, il n'existait pas d'analogue macroscopique de l'onde pilote duquel s'inspirer. C'est maintenant le cas. »[29]

Ces gouttes sont également capables de franchir des barrières infranchissables en physique newtonienne, par l'effet tunnel, mais ce n'est pas le plus remarquable. En faisant tourner le bassin sur lui-même, Couder et ses collègues ont observé que les gouttes ne se promenaient que sur des orbites déterminées, en analogie, comme le fait remarquer Bush, avec ce qui donna son nom à la physique quantique, soit le fait qu'une particule subatomique n'évolue que sur des orbitales déterminées, quantifiées. Le potentiel explicatif de la théorie de de Broglie-Bohm est illustré dans la vidéo publiée par Harris et Bush[22]

• Page personnelle de Sheldon Goldstein, spécialiste de Bohm.
• Bohmian Mechanics. Stanford Encyclopedia of Philosophy. par Sheldon Goldstein.
• Quelques publications de Benjamin Hiley.
• [vidéo] La théorie de Broglie-Bohm par Jean Bricmont, conférence donnée le 27 octobre 2016 à l'Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique

• Théorie de l'onde pilote
• Potentiel quantique
• Variable cachée