Équations de Hamilton-Jacobi

Une transformation canonique est une transformation ${\displaystyle ({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow ({\vec {Q}},{\vec {P}})~,~H({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow K({\vec {Q}},{\vec {P}})}$ de l'espace des phases qui conserve les équations canoniques : ${\displaystyle {\dot {\vec {q}}}={\frac {\partial H}{\partial {\vec {p}}}}~~\rightarrow ~~{\dot {\vec {Q}}}={\frac {\partial K}{\partial {\vec {P}}}}\,;\,{\dot {\vec {p}}}=-{\frac {\partial H}{\partial {\vec {q}}}}~~\rightarrow ~~{\dot {\vec {P}}}=-{\frac {\partial K}{\partial {\vec {Q}}}}}$.

(On note ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\vec {x}}}}={\vec {\nabla }}_{\vec {x}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\vec {e}}_{i}}$ où ${\displaystyle {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{N}x_{i}{\vec {e}}_{i}}$.)

On peut montrer qu'une transformation est canonique si et seulement si elle préserve les crochets de Poisson fondamentaux :

${\displaystyle \{Q_{\alpha },P_{\beta }\}=\delta _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \{Q_{\alpha },Q_{\beta }\}=0}$

${\displaystyle \{P_{\alpha },P_{\beta }\}=0}$

L'action peut s'écrire en fonction des variables de l'espace des phases :

${\displaystyle S[{\vec {q}},{\vec {p}}]=\int \mathrm {d} t~L({\vec {q}},{\dot {\vec {q}}},t)=\int dt~({\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-H({\vec {q}},{\vec {p}},t))=\int \mathrm {d} t~f({\dot {\vec {q}}},{\vec {q}},{\vec {p}},t).}$

Or les équations canoniques vérifiées par ${\displaystyle H({\vec {q}},{\vec {p}})}$ impliquent que ${\displaystyle f}$ vérifie les équations d'Euler-Lagrange :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial f}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right)-{\frac {\partial f}{\partial {\vec {q}}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\vec {p}}\right)+{\frac {\partial H}{\partial {\vec {q}}}}={\dot {\vec {p}}}-{\dot {\vec {p}}}={\vec {0}};}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial f}{\partial {\dot {\vec {p}}}}}\right)-{\frac {\partial f}{\partial {\vec {p}}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\vec {0}}\right)-\left({\dot {\vec {q}}}-{\frac {\partial H}{\partial {\vec {p}}}}\right)=-{\dot {\vec {q}}}+{\dot {\vec {q}}}={\vec {0}}.}$

On a donc stationnarité de l'action si et seulement si ${\displaystyle H({\vec {q}},{\vec {p}})}$ vérifie les équations canoniques, et de même pour ${\displaystyle K({\vec {Q}},{\vec {P}})}$. On en déduit que si H et K vérifient leurs équations canoniques, on a stationnarité des actions correspondantes, soit :

${\displaystyle \delta \left(\int \mathrm {d} t~({\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-H)\right)=0\,,\,\delta \left(\int \mathrm {d} t~({\vec {P}}\cdot {\dot {\vec {Q}}}-K)\right)=0}$

d'où la condition dite d'invariance :

${\displaystyle ({\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-H)-({\vec {P}}\cdot {\dot {\vec {Q}}}-K)={\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}({\vec {q}},{\vec {p}},{\vec {Q}},{\vec {P}},t).}$

Une telle fonction F est appelée fonction génératrice de la transformation ${\displaystyle ({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow ({\vec {Q}},{\vec {P}})~,~H({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow K({\vec {Q}},{\vec {P}})}$.

On note N le nombre de degrés de liberté du système, ${\displaystyle ({\vec {q}},{\vec {p}},{\vec {Q}},{\vec {P}})}$ représentent 4N variables, qui sont reliées entre elles par les 2N relations de la transformation ${\displaystyle ({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow ({\vec {Q}},{\vec {P}})}$. On a donc 2N variables indépendantes, et donc plusieurs choix pour les variables de la fonction génératrice. Si on choisit d'utiliser les variables ${\displaystyle ({\vec {q}},{\vec {P}})}$, on a une fonction génératrice ${\displaystyle S({\vec {q}},{\vec {P}})}$ que l'on appelle fonction principale de Hamilton. Pour avoir effectivement une fonction de ${\displaystyle ({\vec {q}},{\vec {P}})}$, il faut appliquer une transformation de Legendre à ${\displaystyle F}$ : ${\displaystyle S({\vec {q}},{\vec {P}})=F+{\vec {Q}}\cdot {\vec {P}}}$.

On a alors ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}+{\dot {\vec {Q}}}\cdot {\vec {P}}+{\vec {Q}}\cdot {\dot {\vec {P}}}={\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}}\cdot {\dot {\vec {q}}}+{\frac {\partial S}{\partial {\vec {P}}}}\cdot {\dot {\vec {P}}}+{\frac {\partial S}{\partial t}}}$

et la condition d'invariance devient

${\displaystyle \left({\vec {p}}-{\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}}\right)\cdot {\dot {\vec {q}}}+\left({\vec {Q}}-{\frac {\partial S}{\partial {\vec {P}}}}\right)\cdot {\dot {\vec {P}}}+\left(-H+K-{\frac {\partial S}{\partial t}}\right)=0.}$

On a choisi ${\displaystyle ({\vec {q}},{\vec {P}})}$ comme variables indépendantes, on peut donc identifier et l'on obtient :

${\displaystyle {\vec {p}}-{\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}}={\vec {0}}}$ ;

${\displaystyle {\vec {Q}}-{\frac {\partial S}{\partial {\vec {P}}}}={\vec {0}}}$ ;

${\displaystyle -H+K-{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$.

Les deux premières équations permettent de déterminer la transformation ${\displaystyle ({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow ({\vec {Q}},{\vec {P}})}$ à partir de la donnée de la fonction ${\displaystyle S({\vec {q}},{\vec {P}})}$, et en combinant la première et la dernière équation, on a l'équation de Hamilton-Jacobi :

${\displaystyle H\left({\vec {q}},{\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=K}$.

Le but d'une telle transformation est de simplifier la résolution des équations du mouvement. Par exemple, en imposant ${\displaystyle K=0}$, on a simplement ${\displaystyle {\dot {\vec {Q}}}={\vec {0}}}$ et ${\displaystyle {\dot {\vec {P}}}={\vec {0}}}$, soit ${\displaystyle {\vec {Q}}}$ et ${\displaystyle {\vec {P}}}$ constants. Il reste alors à déterminer ${\displaystyle ({\vec {Q}}({\vec {q}},{\vec {p}}),{\vec {P}}({\vec {q}},{\vec {p}}))}$ pour obtenir la solution ${\displaystyle ({\vec {q}}(t),{\vec {p}}(t))}$, or la transformation est entièrement déterminée par la donnée de la fonction génératrice, qui est solution de l'équation aux dérivées partielles

${\displaystyle H({\vec {q}},{\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}},t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}$

Remarque

Dans ce cas, la condition d'invariance devient ${\displaystyle {\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-H={\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}~~\Rightarrow ~~S=\int L~\mathrm {d} t}$. La fonction génératrice ${\displaystyle S}$ est alors simplement l'action du système.

Cette équation n'est pas a priori plus simple à résoudre que les équations de départ (en particulier s'il s'agit d'un Hamiltonien classique ${\displaystyle H({\vec {q}},{\vec {p}},t)={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {q}},{\vec {p}},t)}$, on a alors des termes non linéaires). Cependant, si l'Hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, il est conservé (d'après le théorème de Noether), on a donc directement :

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}=-H({\vec {q}},{\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}})=-E=constante}$

d'où

${\displaystyle S=S_{0}({\vec {q}},{\vec {p}})-Et}$

et l'équation à résoudre est simplifiée :

${\displaystyle H({\vec {q}},{\frac {\partial S_{0}}{\partial {\vec {q}}}})-E=0.}$

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