Équation du mouvement

Soit une particule ponctuelle de masse ${\displaystyle m}$ et de charge ${\displaystyle q}$ soumise à un champ électrique ${\displaystyle {\vec {E}}}$ et un champ magnétique ${\displaystyle {\vec {B}}}$.

On prend pour hypothèses :

• référentiel galiléen
• on néglige les forces de pesanteur et de frottement

La force ${\displaystyle {\vec {f}}_{(M)}}$ qui s'applique à cette particule au point ${\displaystyle M}$ est décrite par la relation : ${\displaystyle {\vec {f}}_{(M)}=q.{\vec {E}}+q.({\vec {v}}\wedge {\vec {B}})}$

On trouve l'équation du mouvement à l'aide du principe fondamental de la dynamique (PFD).

${\displaystyle {\vec {f}}_{(M)}=m.{\vec {a}}=q.{\vec {E}}+q.({\vec {v}}\wedge {\vec {B}})}$

avec ${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}}$, le vecteur accélération.

On trouve trois équations :
${\displaystyle m.{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=q.{E_{x}}+q.(v_{y}.B_{z}-v_{z}.B_{y})}$
${\displaystyle m.{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=q.{E_{y}}+q.(-(v_{x}.B_{z}-v_{z}.B_{x}))}$
${\displaystyle m.{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=q.{E_{z}}+q.(v_{x}.B_{y}-v_{y}.B_{x})}$

Avec ${\displaystyle E_{x},E_{y},E_{z}}$, ${\displaystyle B_{x},B_{y},B_{z}}$ et ${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$ les coordonnées cartésiennes spatiales des champs ${\displaystyle {\vec {E}}}$, ${\displaystyle {\vec {B}}}$ et ${\displaystyle {\vec {v}}}$.

On considère une particule ponctuelle de masse m.

On prend pour hypothèses :

• référentiel galiléen
• les forces de frottement sont négligées

La force ${\displaystyle {\vec {f}}_{(M)}}$ qui s'applique à cette particule au point ${\displaystyle M}$ est décrite par la relation : ${\displaystyle {\vec {f}}_{(M)}={\vec {P}}}$.
P = mg (g accélération de la pesanteur) correspond au poids. On trouve l'équation du mouvement à l'aide du principe fondamental de la dynamique (PFD).

${\displaystyle {\vec {f}}_{(M)}=m.{\vec {a}}=m.{\vec {g}}}$

avec ${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}}$, le vecteur accélération. Dans un système de coordonnées cartésiennes, le vecteur ${\displaystyle {\vec {g}}}$ est orientée suivant ${\displaystyle -{\vec {u_{z}}}}$.
On a donc trois équations :

• ${\displaystyle m.{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=0}$
• ${\displaystyle m.{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=0}$
• ${\displaystyle m.{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-mg}$