Courant de probabilité

La densité de probabilité satisfait une condition de conservation locale. En notant ${\displaystyle {\vec {J}}}$ le courant de probabilité, cette condition de conservation locale (aussi appelée équation de continuité) se note :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}=-{\partial \over \partial t}|\Psi |^{2}}$

avec ${\displaystyle \Psi }$ la fonction d'onde représentant l'amplitude de probabilité et, par définition, ${\displaystyle |\Psi |^{2}=\Psi ^{*}\Psi }$, la densité de probabilité. Cette condition est satisfaite pour une propagation libre si l'on définit ${\displaystyle {\vec {J}}}$ comme suit :

${\displaystyle {\vec {J}}\equiv {i\hbar \over 2m}\left(\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi \right)}$

Du théorème de la divergence, on a (en partant de l'équation de continuité) que :

${\displaystyle \int _{\mathcal {S}}{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=-{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\mathcal {V}}|\Psi |^{2}\mathrm {d} V}$

avec ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ un volume (fixé), ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ le bord de ce volume et ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}}$ le vecteur normal à la surface.

Explicitement cette dernière relation signifie que le courant de probabilité passant à travers une surface (fermée) est égal à la diminution en probabilité de trouver la particule dans le volume borné par cette surface.

On suppose que ${\displaystyle \Psi }$ est la fonction d'onde correspondant à l'amplitude de probabilité d'une particule (dans l'espace des positions). La probabilité de trouver la particule dans un certain volume ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ est donnée par

${\displaystyle P=\int _{\mathcal {V}}|\Psi |^{2}\mathrm {d} V}$

en prenant la dérivée temporelle de cette probabilité et en utilisant la règle de Leibniz pour la dérivée d'une intégrale paramétrique, on a :

${\displaystyle {\mathrm {d} P \over \mathrm {d} t}={\partial \over \partial t}\int _{\mathcal {V}}\Psi ^{*}\Psi \mathrm {d} V=\int _{\mathcal {V}}\left({\partial \Psi ^{*} \over \partial t}\Psi +\Psi ^{*}{\partial \Psi \over \partial t}\right)\mathrm {d} V}$

L'équation de Schrödinger donne :

${\displaystyle {\partial \Psi \over \partial t}=-{\hbar \over 2im}\Delta \Psi +{1 \over i\hbar }V\Psi }$

avec m la masse de la particule, ${\displaystyle \Delta }$ le laplacien et V un potentiel (une fonction réelle).

En prenant le complexe conjugué, on a aussi :

${\displaystyle {\partial \Psi ^{*} \over \partial t}={\hbar \over 2im}\Delta \Psi ^{*}-{1 \over i\hbar }V\Psi ^{*}}$

et en utilisant ces deux dernières équations, on a

${\displaystyle {\mathrm {d} P \over \mathrm {d} t}={-\hbar \over 2im}\int _{\mathcal {V}}\left(\Psi ^{*}\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi ^{*}\right)\mathrm {d} V}$

Cependant, on peut réécrire

${\displaystyle \Psi ^{*}\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi ^{*}={\vec {\nabla }}\cdot \left[\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right]}$

en effet la règle du produit donne :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot \left[\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right]=\Psi ^{*}\Delta \Psi +{\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\vec {\nabla }}\Psi -\Psi \Delta \Psi ^{*}-{\vec {\nabla }}\Psi \cdot {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}}$

et le deuxième et le dernier terme se simplifient. Finalement, en définissant ${\displaystyle {\vec {J}}}$ par

${\displaystyle {\vec {J}}\equiv {i\hbar \over 2m}\left(\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi \right)}$

on a :

${\displaystyle {\mathrm {d} P \over \mathrm {d} t}={\partial \over \partial t}\int _{\mathcal {V}}|\Psi |^{2}\mathrm {d} V=-\int _{\mathcal {V}}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}})\mathrm {d} V}$

et donc :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}=-{\partial \over \partial t}|\Psi |^{2}}$

Supposons que le potentiel ${\displaystyle V}$ du système soit indépendant du temps, il existe alors un ensemble complet d'états (vecteurs propres de l’hamiltonien) ayant la forme suivante :

${\displaystyle \Psi _{n}=\phi _{n}\mathrm {e} ^{-iE_{n}t/\hbar }}$

où la fonction ${\displaystyle \phi _{n}}$ satisfait l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

${\displaystyle -{\hbar ^{2} \over 2m}\Delta \phi _{n}+V\phi _{n}=E\phi _{n}}$

Pour n'importe quel état stationnaire, la densité de probabilité est stationnaire, en effet,

${\displaystyle |\Psi _{n}|^{2}=\Psi _{n}^{*}\Psi _{n}=|\phi _{n}|^{2}}$

et comme ${\displaystyle \phi _{n}}$ est indépendante du temps, ${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}|\Psi _{n}|^{2}=0}$. Par conséquent, ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}=0}$. De manière plus intuitive, on a :

${\displaystyle \int _{\mathcal {S}}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}})\mathrm {d} {\vec {S}}=0}$

ce qui signifie que le flux total de densité de probabilité à travers n'importe quelle surface fermée est nul. Par ailleurs, l'expression du courant de probabilité pour l'état n se simplifie :

${\displaystyle {\vec {J}}_{n}={i\hbar \over 2m}\left(\Psi _{n}{\vec {\nabla }}\Psi _{n}^{*}-\Psi _{n}^{*}{\vec {\nabla }}\Psi _{n}\right)={i\hbar \over 2m}\left(\phi _{n}{\vec {\nabla }}\phi _{n}^{*}-\phi _{n}^{*}{\vec {\nabla }}\phi _{n}\right)}$

La définition doit être modifiée pour un système dans un champ électromagnétique extérieur. Par exemple, pour une particule de charge q, l'équation de Schrödinger indépendante du temps qui satisfait une invariance locale de jauge est donnée dans l'espace des positions avec un hamiltonien de couplage minimal par :

${\displaystyle {\hat {H}}={1 \over 2m}\left[{\hat {\vec {p}}}-(1-\beta )q{\vec {A}}(t)\right]^{2}-\beta q{\vec {F}}(t)\cdot {\vec {r}}}$

avec ${\displaystyle {\hat {\vec {p}}}}$ l'opérateur impulsion, ${\displaystyle {\vec {A}}}$ est un potentiel vecteur et ${\displaystyle \beta }$ est un paramètre caractérisant la jauge. Par exemple, ${\displaystyle \beta =0}$ correspond à la jauge de vitesse tandis que ${\displaystyle \beta =1}$ correspond à la jauge de longueur.

Si on remplace ${\displaystyle {\hat {\vec {p}}}-(1-\beta )q{\vec {A}}}$ par ${\displaystyle {\hat {\vec {P}}}}$, il est aisé de dériver l'équation de continuité avec un courant de probabilité défini par :

${\displaystyle {\vec {J}}_{ext}\equiv {1 \over 2m}\left(\Psi ^{*}{\hat {\vec {P}}}\Psi -\Psi {\hat {\vec {P}}}\Psi ^{*}\right)={\vec {J}}-(1-\beta ){q \over m}{\vec {A}}|\Psi |^{2}}$