Onde plane

Une onde est monochromatique lorsqu'elle ne contient qu'une seule couleur, c'est-à-dire une seule fréquence ou, exprimé autrement, une seule pulsation ${\displaystyle \omega =2\pi f}$. Une telle onde plane a en chaque point une amplitude de forme sinusoïdale comme fonction du temps :

${\displaystyle u({\vec {r}},t)=a\cos({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi _{0})}$.

Dans cette formule, ${\displaystyle u({\vec {r}},t)}$ représente l'amplitude ou la perturbation de l'onde à un point donné dans l'espace et le temps. u (${\displaystyle {\vec {r}}}$,t) peut par exemple représenter la variation de la pression de l'air par rapport à la moyenne, dans le cas d'une onde sonore. ${\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)}$ est le vecteur position, ${\displaystyle {\vec {k}}}$ est le vecteur d'onde, ${\displaystyle \omega }$ est la pulsation, ${\displaystyle \varphi _{0}}$ est la phase à l'origine, et ${\displaystyle a}$ est l'amplitude complexe de l'onde.

Ce type d'onde est particulièrement utile en physique car il est simple à utiliser et est une bonne approximation de nombreuses ondes. En particulier, lorsque l'on est assez loin d'une source d'onde ponctuelle (un laser, une antenne de radio de petite taille), les ondes sphériques concentriques émises par un tel dispositif sont bien approchées localement par une onde monochromatique plane. Cependant il n'existe pas rigoureusement d'ondes planes purement monochromatiques dans la nature car celles-ci devraient transporter une énergie infinie, ce qui est impossible.

Conséquences

• La relation entre la pulsation ${\displaystyle \omega }$ et le vecteur d'onde ${\displaystyle {\vec {k}}}$ que l'on obtient grâce à l'équation d'onde est appelée relation de dispersion. Elle dépend des caractéristiques physiques du milieu de propagation et de sa géométrie.
• La vitesse de phase est définie par ${\displaystyle v_{\phi }={\frac {\omega }{Re[k]}}}$

tandis que la vitesse de groupe s'écrit ${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial Re[k]}}}$

La partie imaginaire de k n'apparaît pas car elle correspond à l'atténuation de l'onde.

Ces ondes sont des solutions pour une équation d'onde scalaire dans un milieu homogène. Pour les équations d'onde vectorielles, telles que celles décrivant le rayonnement électromagnétique ou les ondes dans un solide élastique, la solution est similaire : l'amplitude scalaire est simplement remplacée par un vecteur constant. Par exemple, dans l’électromagnétisme, ce vecteur est typiquement le vecteur du champ électrique, du champ magnétique ou du potentiel vectoriel. Une onde transversale est une onde dans laquelle le vecteur d'amplitude est orthogonal à ${\displaystyle {\vec {k}}}$, ce qui est le cas pour les ondes électromagnétiques dans un milieu isotrope. En revanche, une onde longitudinale est une onde dans laquelle le vecteur d'amplitude est parallèle à ${\displaystyle {\vec {k}}}$, par exemple pour des ondes acoustiques dans un gaz ou un fluide.

L'équation des ondes planes fonctionne pour des combinaisons arbitraires de ω et k, mais tout milieu physique réel ne permettra à ces ondes de se propager que pour les combinaisons de ω et k qui satisfont la relation de dispersion. Celle-ci est souvent exprimée en fonction fr ω (k). Le rapport ω / |k| donne la grandeur de la vitesse de phase, et dω /dk donne la vitesse du groupe. Pour l'électromagnétisme dans un milieu isotrope avec indice de réfraction n, la vitesse de phase est c / n, ce qui est égal à la vitesse du groupe si l'indice n n'est pas dépendant de la fréquence.

Dans les milieux uniformes linéaires, une solution d'onde peut être exprimée comme une superposition d'ondes planes. Cette approche est connue sous le nom de méthode du spectre d'ondes planes. La forme de la solution onde plane est en fait une conséquence générale de la symétrie translationnelle. Plus généralement pour les structures périodiques à symétrie translationnelles discrète, les solutions prennent la forme d'ondes de Bloch, la plus célèbre dans les matériaux atomiques cristallins mais aussi dans les cristaux photoniques et autres équations d'ondes périodiques. Comme autre généralisation, pour les structures qui ne sont uniformes que dans une direction x (comme un guide d'ondes dans la direction x), les solutions (modes guides d'ondes) sont de la forme exp[i(kx-ωt)] multipliée par une fonction d'amplitude a(y, z). C'est un cas particulier d'équation différentielle partielle séparable.

• Onde sphérique
• Spectre d'ondes planes
• Méthode de décomposition en onde plane