Mouvement brownien

La difficulté de modélisation du mouvement brownien réside dans le fait que ce mouvement est aléatoire et que statistiquement, le déplacement est nul : il n'y a pas de mouvement d'ensemble, contrairement à un vent ou un courant. Plus précisément :

• à un instant donné, la somme vectorielle des vitesses de toutes les particules s'annule (il n'y a pas de mouvement d'ensemble) ;
• si l'on suit une particule donnée au cours du temps, le barycentre de sa trajectoire est son point de départ, elle « virevolte » autour du même point.

Il est difficile dans ces conditions de caractériser le mouvement. La solution fut trouvée par Louis Bachelier, et présentée dans sa thèse soutenue le 29 mars 1900. Il démontra que ce qui caractérise le mouvement, ce n'est pas la moyenne arithmétique des positions <X> mais la moyenne quadratique ${\displaystyle {\sqrt {\langle \,X^{2}\,\rangle \ }}}$ : si x(t) est la distance de la particule à sa position de départ à l'instant t, alors :

On démontre que le déplacement quadratique moyen est proportionnel au temps[4] :

${\displaystyle \langle \,X^{2}(t)\ \rangle \ =\ 2\,d\,D\,t}$

où d est la dimension du mouvement (linéaire, plan, spatial), D le coefficient de diffusion, et t le temps écoulé.

Un mouvement brownien est une martingale telle que

1. cette martingale est continue dans le temps
2. son carré soustrait de son temps est une martingale

${\displaystyle (M_{t})}$ est un mouvement brownien si et seulement si ${\displaystyle (M_{t})}$ est une martingale continue telle que ${\displaystyle (M_{t}^{2}-t)}$ est une martingale.

Approximation d'un mouvement brownien bidimensionnel par une marche aléatoire de 3 000 pas dont chaque pas est gaussien en abscisse et en ordonnée.

Définition uni-dimensionnelle

Le mouvement brownien unidimensionnel ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ est un processus stochastique dépendant du temps t et vérifiant :

1. (accroissements indépendants) Quels que soient les temps t et s tels que t > s, l'accroissement ${\displaystyle B_{t}-B_{s}}$ est indépendant du processus ${\displaystyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}}$ avant le temps s.
2. (accroissements stationnaires et gaussiens) Quels que soient les temps t et s tels que t > s, l'accroissement ${\displaystyle B_{t}-B_{s}}$ est une variable aléatoire normale de moyenne nulle et de variance t−s.
3. ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ est presque sûrement continu, c'est-à-dire pour presque toute réalisation, la fonction ${\displaystyle t\mapsto B_{t}(\omega )}$ est continue.
4. Il est souvent supposé que ${\displaystyle B_{0}=0}$. On dit alors que le mouvement brownien est standard.

Définition équivalente

Le mouvement brownien unidimensionnel ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ est un processus stochastique dépendant du temps t et vérifiant :

1. Le processus ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ est un processus gaussien, c'est-à-dire pour tous temps ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}\leq ...\leq t_{n}}$, le vecteur ${\displaystyle (B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{n}})}$ est un vecteur gaussien.
2. ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ est presque sûrement continu. C'est-à-dire pour toute réalisation, la fonction ${\displaystyle t\mapsto B_{t}(\omega )}$ est continue.
3. pour tous s et t, la moyenne est ${\displaystyle \mathbb {E} [B_{t}]=0}$ et la covariance est ${\displaystyle \mathbb {E} [B_{s}B_{t}]=\min(s,t)}$.

Définition multi-dimensionnelle

Le mouvement brownien d-dimensionnel est un processus ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}:=\left(B_{t}^{1},B_{t}^{2},...,B_{t}^{d}\right)_{t\geq 0}}$ où les processus ${\displaystyle B^{1},B^{2},...,B^{d}}$ sont des mouvements browniens indépendants.

Autrement dit le mouvement brownien d-dimensionnel est à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ et ses projections sur les espaces ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2},...,\mathbb {R} ^{d-1}}$ sont respectivement des mouvements browniens uni-, bi-, ..., d-1-dimensionnels.

Définition de la mesure de Wiener

Considérons ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}$ l'espace des fonctions continues de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {T}},\mathbb {P} )}$ un espace probabilisé. Le mouvement brownien est l'application

${\displaystyle {\begin{array}{lccl}B:&\Omega &\longrightarrow &C(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )\\&\omega &\mapsto &\left(t\mapsto B_{t}(\omega )\right)\end{array}}}$.

La mesure de Wiener (ou loi du mouvement brownien), souvent notée ${\displaystyle W(\mathrm {d} \omega )}$, est la mesure-image de ${\displaystyle \mathbb {P} (\mathrm {d} \omega )}$ par cette application B.

Autrement dit, c'est la mesure de probabilité W sur ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}$ telle que pour tout ${\displaystyle A\subset {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}$,

${\displaystyle W(A)=\mathbb {P} ((B_{t})_{t\geq 0}\in A)}$.

Remarques

• Le mouvement brownien est un processus de Lévy à accroissements gaussiens.
• Cette définition permet de démontrer des propriétés du mouvement brownien, par exemple sa continuité (presque sûre), le fait que presque sûrement, la trajectoire n'est différentiable nulle part, et de nombreuses autres propriétés.
• On pourrait également définir le mouvement brownien par rapport à sa variation quadratique moyenne. Cette définition, classiquement appelée théorème de Lévy, donne la caractérisation suivante: un processus stochastique à trajectoires continues dont la variation quadratique est t est un mouvement brownien. Ceci se traduit mathématiquement par le fait que pour une filtration donnée, ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ et ${\displaystyle (B_{t}^{2}-t)_{t\geq 0}}$ sont des martingales.

• Les trajectoires du mouvement brownien sont presque sûrement nulle part dérivables, c'est-à-dire que pour presque tout ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, la fonction ${\displaystyle t\mapsto B_{t}(\omega )}$ est une fonction continue nulle part dérivable.
• La covariance est donnée par ${\displaystyle \mathbb {E} [B_{s}B_{t}]=\min(s,t)}$ pour tous réels s et t.
• Le mouvement brownien a la propriété de Markov forte : pour tout temps d'arrêt T, conditionnellement à ${\displaystyle [T<\infty ]}$, le processus ${\displaystyle (B_{t}^{T})_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_{T})_{t\geq 0}}$ est un mouvement brownien indépendant du processus ${\displaystyle (B_{s})_{0\leq s<T}}$.
• Sa transformée de Fourier ou fonction caractéristique est donnée par ${\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{iuB_{t}}\right]=e^{-{\frac {tu^{2}}{2}}}}$ . On retrouve le fait que le mouvement brownien soit un processus de Lévy sans drift (« dérive »), sans sauts et de coefficient quadratique 1/2.
• Le mouvement brownien est homogène en temps : pour tout s > 0, ${\displaystyle (B_{t+s}-B_{s})_{t\geq 0}}$ est un mouvement brownien indépendant de ${\displaystyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}}$.
• Le processus -B est un mouvement brownien.
• Propriété de stabilité - Pour tout c > 0, le processus ${\displaystyle \left(cB_{\frac {t}{c^{2}}}\right)_{t\geq 0}}$ est un mouvement brownien. On dit que le mouvement brownien est stable d'indice 2.
• Inversion du temps - Le processus ${\displaystyle \left(tB_{\frac {1}{t}}\right)_{t>0}}$ qui s'annule en t=0 est un mouvement brownien.
• Récurrence Le mouvement brownien d-dimensionnel est récurrent si et seulement si d=1 ou d=2. C'est-à-dire

si ${\displaystyle d\in \{1,2\}}$, l'ensemble ${\displaystyle \{t\geq 0,||B_{t}-x||\leq r\}}$ est non borné pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$ et tout ${\displaystyle r\gneq 0}$,

si ${\displaystyle d\geq 3,\,\,\,\lim _{t\rightarrow \infty }\|B_{t}\|=+\infty }$ presque sûrement.

• Principe de réflexion

${\displaystyle \mathbb {P} [\sup _{0\leq s\leq t}B_{s}\geq a]=2\mathbb {P} [B_{t}\geq a]=\mathbb {P} [|B_{t}|\geq a].}$

Donnons d'autres manières de construire le mouvement brownien.

Soit ${\displaystyle (f_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$ une famille de fonctions à valeurs réelles appartenant à ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$. Posons alors :

${\displaystyle \forall (u,v)\in \mathbb {R} _{+}^{2}{\text{, }}s(u,v)={\langle f_{u},f_{v}\rangle }_{L^{2}(\mathbb {R} _{+})}=\int _{\mathbb {R} _{+}}f_{u}(x)f_{v}(x)\mathrm {d} x}$

Alors, la fonction satisfait la propriété suivante :

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ^{*}}$ et tous ${\displaystyle t_{1},...,t_{k}\in \mathbb {R} _{+}}$, la matrice ${\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}}$ est symétrique et semi-définie positive.

Au moyen du théorème de consistance de Kolmogorov, on peut construire un processus gaussien ${\displaystyle \{Y_{t}\}_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$ dont la fonction moyenne m est arbitraire et dont la fonction de covariance est s définie au-dessus.

Lorsque ${\displaystyle (f_{t})_{t\in {\mathbb {R} _{+}}}=\left({\sqrt {c}}\,1\!\!1_{[0,t]}\right)_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$ où ${\displaystyle c>0}$ est une constante ne dépendant pas de t, et où ${\displaystyle 1\!\!1_{[0,t]}}$ est la fonction indicatrice sur [0,t], il résulte de l'expression de s que pour tout ${\displaystyle (u,v)\in {\mathbb {R} _{+}^{2}}}$ :

${\displaystyle s(u,v)=c\int \limits _{\mathbb {R} }1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)\mathrm {d} s=c\,\min(u,v)}$

Dans ce cas-là, la matrice ${\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}}$ est symétrique et définie positive pour tout ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{*}}$ et ${\displaystyle t_{1},...,t_{k}}$ 2 à 2 distincts.

On dit qu'un processus gaussien à valeurs réelles indexé par ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ est un mouvement brownien lorsque le processus est centré (i.e. l'application ${\displaystyle t\mapsto \mathbb {E} X_{t}}$ est identiquement nulle) et que sa fonction de covariance s est donnée ci-dessus. D'habitude, un mouvement brownien est noté par ${\displaystyle \{B_{t}\}_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$. Signalons que ${\displaystyle c=\operatorname {Var} (B_{1})}$. Lorsque c = 1, le mouvement brownien est dit standard.

Le théorème de Donsker (1951) montre qu'une marche aléatoire convenablement renormalisée converge en loi vers le mouvement brownien.

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)\right)_{0\leq t\leq 1}{\underset {n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}(B_{t})_{0\leq t\leq 1}}$

où [.] est la partie entière et les variables aléatoires (U_n, n ≥ 1) sont iid, centrées, de carré intégrable et de variance ${\displaystyle \sigma }$². La convergence ${\displaystyle {\underset {n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}}$ est la convergence en loi dans l'espace C ([0,1]) des fonctions continues sur [0,1] muni de sa tribu borélienne.

Cette convergence donne une définition du mouvement brownien comme l'unique limite (en loi) de marches aléatoires renormalisées.

Donnons une construction du mouvement brownien fondée sur les séries de Fourier.

Soient deux suites indépendantes ${\displaystyle (N_{k},k\in \mathbb {N} )}$ et ${\displaystyle (N'_{k},k\in \mathbb {N} )}$ de variables aléatoires indépendantes de loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$. Le processus ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ défini par la série

${\displaystyle B_{t}:=tN_{0}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2\pi k}}\left(N_{k}(\cos(2\pi kt)-1)+N_{k}'\sin(2\pi kt)\right)}$

est un mouvement brownien.

en haut : simulation d'un pont brownien standard.
en bas : simulation d'une excursion brownienne normalisée.

Considérons ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{t\geq 0,B_{t}=0\}}$ l'ensemble des zéros du mouvement brownien unidimensionnel (ensemble des temps où le mouvement brownien s'annule). Le complémentaire de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est une suite d'intervalles ouverts que l'on note ${\displaystyle \bigcup _{n\geq 1}{\mathcal {B}}_{n}}$. Chaque intervalle a une longueur notée ${\displaystyle |{\mathcal {B}}_{n}|}$.

Pour chaque n ≥ 1, on définit les processus ${\displaystyle e_{n}:=(e_{n}(t),0\leq t\leq |{\mathcal {B}}_{n}|)}$ et ${\displaystyle e_{n}^{norm}:=(e_{n}^{norm}(t),0\leq t\leq 1)}$ par

${\displaystyle e_{n}(t):=B_{t+\inf {\mathcal {B}}_{n}}}$ pour tout ${\displaystyle 0\leq t\leq |{\mathcal {B}}_{n}|}$,

${\displaystyle e_{n}^{norm}(t):={\frac {B_{t|{\mathcal {B}}_{n}|+\inf {\mathcal {B}}_{n}}}{\sqrt {|{\mathcal {B}}_{n}|}}}}$ pour tout ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$.

${\displaystyle e_{n}}$ est appelée l'excursion brownienne, ${\displaystyle e_{n}^{norm}}$ est l'excursion brownienne normalisée (voir le livre de Itô et McKean[5]).

Les excursions sont soit "au-dessus" de 0 (s'il existe un t tel que ${\displaystyle e_{n}(t)>0}$) soit "au-dessous" de 0 (s'il existe un t tel que ${\displaystyle e_{n}(t)<0}$).

Propriétés

• Les excursions ${\displaystyle (e_{n},n\geq 1)}$ sont indépendantes et de même loi. De même pour ${\displaystyle (e_{n}^{norm},n\geq 1)}$. ${\displaystyle e_{1}^{norm}}$ est markovien avec :

${\displaystyle \mathbb {P} _{0}[e_{1}^{norm}(t)\in \mathrm {d} x|\operatorname {sgn} (e_{1})>0]={\frac {2x^{2}}{\sqrt {2\pi t^{2}(1-t)^{2}}}}e^{\frac {-x^{2}}{2t(1-t)}}\mathrm {d} x}$.

• Les signes des excursions sont indépendantes et de loi ${\displaystyle \mathbb {P} [\operatorname {sgn} (e_{1})>0]=\mathbb {P} [\operatorname {sgn} (e_{1})<0]={\frac {1}{2}}}$.
• Il existe des liens entre l'excursion brownienne et le pont brownien.

La formule suivante permet de calculer le coefficient de diffusion d'un couple particule-fluide par la loi de Stokes-Einstein :

${\displaystyle D={\frac {k_{B}T}{6\pi \eta r}}}$

où T est la température, η la viscosité dynamique du fluide, r le rayon de la particule, k_B la constante de Boltzmann.

La quantité d'énergie mise en œuvre par le mouvement brownien est négligeable à l'échelle macroscopique. On ne peut pas en tirer de l'énergie pour réaliser un mouvement perpétuel de seconde espèce, et violer ainsi le deuxième principe de la thermodynamique.

Toutefois, il a été démontré que certains processus biologiques à l'échelle cellulaire peuvent orienter le mouvement brownien afin d'en soutirer de l'énergie[6]. Cette transformation ne contrevient pas au deuxième principe de la thermodynamique tant et aussi longtemps qu'un échange de rayonnement peut maintenir la température du milieu (système dissipatif) donc la vitesse moyenne des particules. Il faut aussi considérer que la dissipation de ce mouvement brownien sous forme d'énergie utilisable engendre une croissance de l'entropie globale du système (ou de l'univers).

• Une généralisation naturelle est le feuille brownienne.
• Une généralisation est le processus de Lévy.

Dans l'approche de Langevin[7], la grosse particule brownienne de masse m animée à l'instant t d'une vitesse ${\displaystyle v(t)}$ est soumise à deux forces :

• une force de frottement fluide du type ${\displaystyle f\,=\,-\,k\,v}$, où k est une constante positive ;
• un bruit blanc gaussien ${\displaystyle \eta (t)}$

Bruit blanc gaussien :

Un bruit blanc gaussien ${\displaystyle \eta (t)}$ est un processus stochastique de moyenne nulle :

et totalement décorrélé dans le temps ; sa fonction de corrélation à deux points vaut en effet :

Dans cette formule, ${\displaystyle \Gamma }$ est une constante positive, et ${\displaystyle \delta (t)}$ est la distribution de Dirac.

Dans ces deux formules, la moyenne est prise sur toutes les réalisations possibles du bruit blanc gaussien. On peut formaliser ceci en introduisant une intégrale fonctionnelle, encore appelée intégrale de chemin d'après Feynman, définie pour la mesure gaussienne dite « mesure de Wiener »[8]. Ainsi, on écrit :

où ${\displaystyle {\dot {\eta }}}$ est la dérivée de ${\displaystyle \eta }$ par rapport au temps t.

Le principe fondamental de la dynamique de Newton conduit à l'équation stochastique de Langevin :

${\displaystyle m\,{\frac {dv(t)}{dt}}\ =\ -\,k\,v(t)\ +\ \eta (t)}$

On peut aussi utiliser un modèle de marche aléatoire (ou au hasard), où le mouvement se fait par sauts discrets entre positions définies (on a alors des mouvements en ligne droite entre deux positions), par exemple dans le cas de la diffusion dans les solides. Si les x_i sont les positions successives d'une particule, alors on a après n sauts :

${\displaystyle \langle \,X_{n}^{2}\ \rangle \ =\ {\frac {1}{n}}\ \sum _{i=1}^{n}\ x_{i}^{2}}$

Considérons la marche aléatoire d'une particule sur l'axe Ox. On suppose que cette particule effectue des sauts de longueur a entre deux positions contigües situées sur le réseau : ${\displaystyle \{\,n\,a\ ,n\in \mathbb {Z} \,\}}$ de maille a sur l'axe, chaque saut ayant une durée ${\displaystyle \tau }$.

Il faut encore se donner un nombre p tel que : 0 < p < 1. L'interprétation physique de ce paramètre est la suivante :

• p représente la probabilité que la particule fasse un saut vers la droite à chaque instant ;
• q = 1 - p représente la probabilité que la particule fasse un saut vers la gauche à chaque instant.

Le cas du mouvement brownien correspond à faire l'hypothèse d'isotropie spatiale. Toutes les directions de l'espace physique étant a priori équivalentes, on pose l'équiprobabilité :

${\displaystyle p\ =\ q\ =\ {\frac {1}{2}}}$

La figure ci-dessous montre un exemple typique de résultat : on trace les positions successives x(k) de la particule aux instants k, partant de la condition initiale x(0)=0.

On définit la probabilité de transition conditionnelle :

${\displaystyle P(n|m,s)\ =\ P(na|ma,s\tau )}$

comme étant la probabilité de trouver la particule au site ma à l'instant ${\displaystyle s\tau }$ sachant qu'elle était au site na à l'instant initial 0.

L'hypothèse d'isotropie conduit à écrire la loi d'évolution de cette probabilité de transition conditionnelle :

${\displaystyle P(n|m,s+1)\ =\ {\frac {1}{2}}\ \left[\ P(n|m+1,s)\ +\ P(n|m-1,s)\ \right]}$

On en déduit la relation suivante :

${\displaystyle P(n|m,s+1)\,-\,P(n|m,s)\ =\ {\frac {1}{2}}\ \left[\ P(n|m+1,s)\,+\,P(n|m-1,s)\,-\,2\ P(n|m,s)\ \right]}$

Prenons la limite continue de l'équation précédente lorsque les paramètres :

• ${\displaystyle \tau \ \to \ 0}$
• ${\displaystyle a\ \to \ 0}$

On verra à la fin du calcul que la combinaison ${\displaystyle a^{2}/2\tau }$ doit en fait rester constante dans cette limite continue.

Il vient, en réintroduisant le paramètre adéquat pour faire un développement limité :

${\displaystyle P(n|m,(s+1)\tau )\ -\ P(n|m,s\tau )\ =\ \tau \ {\frac {\partial P(n|m,s\tau )}{\partial t}}\ +\ O(\tau ^{2})}$

D'autre part, on peut écrire :

${\displaystyle P(n|(m\pm 1)a,s)\ =\ P(n|ma,s)\,\pm \,a\ {\frac {\partial P(n|ma,s)}{\partial x}}\,+\,{\frac {a^{2}}{2}}\ {\frac {\partial ^{2}P(n|ma,s)}{\partial x^{2}}}\,+\,O(a^{3})}$

de telle sorte que le crochet se réduise à :

${\displaystyle P(n|m+1,s)\,+\,P(n|m-1,s)\,-\,2\ P(n|m,s)\ =\ a^{2}\ {\frac {\partial ^{2}P(n|ma,s)}{\partial x^{2}}}\,+\,O(a^{3})}$

On en déduit l'équation de Fokker-Planck :

${\displaystyle \tau \ {\frac {\partial P(x_{0}|x,t)}{\partial t}}\ =\ {\frac {a^{2}}{2}}\ {\frac {\partial ^{2}P(x_{0}|x,t)}{\partial x^{2}}}}$

qu'on peut réécrire :

${\displaystyle {\frac {\partial P(x_{0}|x,t)}{\partial t}}\ =\ D\ {\frac {\partial ^{2}P(x_{0}|x,t)}{\partial x^{2}}}}$

en introduisant le coefficient de diffusion :

${\displaystyle D\ =\ {\frac {a^{2}}{2\tau }}}$

En plus de l'équation de Fokker-Planck, la densité de probabilité de transition conditionnelle ${\displaystyle P(x_{0}|x,t)}$ doit vérifier les deux conditions supplémentaires suivantes :

• la normalisation des probabilités totales :

${\displaystyle \forall \ t\ >\ 0\ ,\quad \int _{-\infty }^{+\infty }dx\ P(x_{0}|x,t)\ =\ 1}$

• la condition initiale :

${\displaystyle \lim _{t\to 0}P(x_{0}|x,t)\ =\ \delta (x-x_{0})}$

où ${\displaystyle \delta (x)}$ est la distribution de Dirac.

La densité de probabilité de transition conditionnelle ${\displaystyle P(x_{0}|x,t)}$ est donc essentiellement une fonction de Green de l'équation de Fokker-Planck. On peut démontrer qu'elle s'écrit explicitement :

${\displaystyle P(x_{0}|x,t)\ =\ {\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\ \exp \,\left[\ -\ {\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\ \right]}$

Moments de la distribution :

Posons ${\displaystyle x_{0}=0}$ pour simplifier. La densité de probabilité de transition conditionnelle ${\displaystyle P_{0}(x,t)=P(0|x,t)}$ permet le calcul des divers moments :

La fonction ${\displaystyle P_{0}}$ étant paire, tous les moments d'ordre impair sont nuls. On peut facilement calculer tous les moments d'ordre pair en posant :

et en écrivant que :

On obtient explicitement :

On retrouve notamment pour le moment d'ordre deux :

Aspects historiques

• Jean Perrin, Mouvement brownien et réalité moléculaire, Annales de Chimie et de Physique 19 (8^e série), (1909), 5-104. Possibilité de consulter et de télécharger le texte complet au format pdf depuis le site Gallica de la BNF.
• Jean Perrin, Les Atomes, Paris, Félix Alcan, 1913 [détail des éditions]
• Albert Einstein, Investigations on the Theory of the Brownian Movement, Dover Publications, Inc. (1985), (ISBN 0-486-60304-0). Réédition des articles originaux d’Einstein sur la théorie du mouvement brownien. [présentation en ligne]
• Jean-Pierre Kahane, Le mouvement brownien - Un essai sur les origines de la théorie mathématique, Séminaires et Congrès de la SMF (1998), vol 3., p. 123-155

Mouvement brownien dans l'espace euclidien

• Bertrand Duplantier ; Le mouvement brownien, Séminaire Poincaré : Einstein, 1905-2005 (Paris, 8 avril 2005). Texte complet disponible ici.
• Bernard Derrida et Eric Brunet, Le mouvement brownien et le théorème de fluctuation-dissipation, dans : Michèle Leduc & Michel Le Bellac (éditeurs) ; Einstein aujourd'hui, EDP Sciences (janvier 2005), (ISBN 2-86883-768-9).
• Jean-François Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique, Springer, 2013
• Jean-François Le Gall, Intégration, Probabilités et Processus Aléatoires, cours du Magistère de mathématiques de l'ENS (2005). Le dernier chapitre (14) est une introduction au mouvement brownien. Format pdf.
• Jean-François Le Gall, Mouvement brownien et calcul stochastique, cours de DEA donné à l'université Paris 6 (1996 et 1997). Format pdf.
• Jean-François Le Gall, Mouvement brownien, processus de branchement et superprocessus, cours de DEA donné à l'université Paris 6 (1994). Format pdf.
• Paul Lévy, Processus stochastiques et mouvement brownien, Gauthier-Villars (2^e édition - 1965). Réédité par Jacques Gabay (1992), (ISBN 2-87647-091-8).
• Mark Kac, Random Walk and the Theory of Brownian Motion, American Mathematical Monthly 54(7) (1947), 369-391. Texte au format pdf.
• Mark Kac, Integration in Function Space and some of Its Applications, Lezioni Fermiane, Accademia Nazionale dei Lincei, Scuola Normale Superiore, Pisa, Italy (1980). Texte au format pdf.
• Edward Nelson, Dynamical Theories of Brownian Motion, Princeton University Press (1967). Texte au format pdf.
• Daniel Revuz et Marc Yor, Continuous martingales and Brownian motion, 3^e ed., New York Springer (1999) (ISBN 3-540-64325-7).

Mouvement brownien sur une variété riemannienne

• Elton P. Hsu ; Stochastic Analysis on Manifolds, American Mathematical Society (janvier 2002), (ISBN 0-8218-0802-8).
• Elton P. Hsu ; A Brief Introduction to Brownian Motion on a Riemannian Manifold, (2003). Cours donné à Kyoto, disponible au format pdf.
• Mark A. Pinsky ; Isotropic transport process on a Riemannian manifold, Transaction of the American Mathematical Society 218 (1976), 353-360.
• Mark A. Pinsky ; Can You Feel the Shape of a Manifold with Brownian Motion ?, Expositiones Mathematicae 2 (1984), 263-271.
• Nicolas Th. Varopoulos ; Brownian motion and random walks on manifolds, Annales de l'Institut Fourier 34(2) (1984), 243-269. Texte disponible au format pdf.
• Alexander Grigor'yan ; Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds, Bulletin of the American Mathematical Society 36(2) (1999), 135-249. Texte en ligne.

• (en) Article de blog sur le mouvement brownien
• (fr) Thermogramme du mouvement brownien visible en surface d'un bol d'eau chaude