Carré sommable

Considérons les fonctions mesurables définies sur l’ensemble ℝ et à valeurs dans ℂ dont l’intégrale (au sens de Lebesgue) du carré du module converge[1]. Ces fonctions constituent un espace vectoriel ℒ²(ℝ) qui, grâce à l'inégalité de Hölder, peut être muni de la forme hermitienne positive définie par

${\displaystyle (f,g)_{2}=\int _{\mathbb {R} }f(x){\overline {g}}(x)\,\mathrm {d} x}$

et de la semi-norme correspondante

${\displaystyle \|f\|_{2}=\left(\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{2}~\mathrm {d} x\right)^{1/2}.}$

Puisqu’une fonction ${\displaystyle f}$ de ℒ²(ℝ) peut rester indéfinie sur un ensemble de mesure nulle sans affecter les intégrales précédentes, la relation d'équivalence « est égale presque partout » permet de constituer des classes de fonctions (notées provisoirement ${\displaystyle [f]}$) : deux fonctions sont alors dans la même classe si elles sont « égales presque partout », c’est-à-dire égales en dehors d’un ensemble de mesure nulle. L’ensemble de ces classes constitue l’espace vectoriel L²(ℝ).

Puisque le noyau de la semi-norme est l’ensemble des fonctions négligeables (c'est-à-dire nulles presque partout) de ℒ²(ℝ), l’espace L²(ℝ) acquiert une structure d’espace de Hilbert à l’aide du produit scalaire

${\displaystyle ([f],[g])_{2}=\int _{\mathbb {R} }f(x){\overline {g}}(x)~\mathrm {d} x}$

et de la norme correspondante

${\displaystyle \|[f]\|_{2}=\left(\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{2}~\mathrm {d} x\right)^{1/2}.}$

Ces intégrales ne dépendent pas des représentants ${\displaystyle f}$ ou ${\displaystyle g}$ de ℒ²(ℝ) choisis pour caractériser les classes ${\displaystyle [f]}$ ou ${\displaystyle [g]}$ de L²(ℝ).

Il est commode et fréquent d’identifier une fonction ${\displaystyle f}$ de ℒ²(ℝ) à sa classe ${\displaystyle [f]}$ dans L²(ℝ). Ainsi :

• L’espace L²(ℝ) des fonctions de carré sommable est l’ensemble des (classes d'égalité presque partout de) fonctions mesurables définies presque partout sur ℝ et à valeurs dans ℝ ou ℂ, telles que le carré de leur module soit Lebesgue-intégrable sur ℝ.
• L²(ℝ) est un espace de Hilbert lorsqu’il est muni du produit scalaire

${\displaystyle (f,g)_{2}=\int _{\mathbb {R} }f(x){\overline {g}}(x)~\mathrm {d} x.}$

En tant qu’espace de Hilbert, L²(ℝ) est un espace complet :

Si une suite ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ dans L²(ℝ) est de Cauchy, alors il existe une limite ${\displaystyle f}$ dans L²(ℝ) (c'est-à-dire une fonction définie presque partout sur ℝ et de carré sommable) telle que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{\mathbb {R} }|f-f_{n}|^{2}~\mathrm {d} x=0.}$

C’est la notion de convergence en moyenne quadratique. Elle n’implique pas nécessairement la convergence ponctuelle presque partout.

Cependant, de toute suite convergente de L²(ℝ), on peut extraire une sous-suite qui converge ponctuellement presque partout. En d’autres termes, si ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge vers ${\displaystyle f}$ en moyenne quadratique, on peut trouver une partie infinie ${\displaystyle K}$ de ℕ et un ensemble ${\displaystyle E}$ de mesure nulle tels que

${\displaystyle \forall x\notin E,\quad \lim _{n\in K,n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).}$

Le théorème de convergence dominée fournit une condition suffisante de convergence en moyenne quadratique :

Soit ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite dans L²(ℝ) qui converge presque partout vers une limite ${\displaystyle f}$. S’il existe une fonction ${\displaystyle h}$ dans L²(ℝ) et un ensemble ${\displaystyle E}$ de mesure nulle tels que

${\displaystyle \forall x\notin E,\quad |f_{n}(x)|\leq h(x),}$

alors ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge en moyenne quadratique vers ${\displaystyle f}$.

En physique quantique, une fonction d'onde ${\displaystyle |\Psi ({\vec {r}},t)\rangle }$ associée à une particule est de carré sommable relativement à la variable spatiale. Physiquement, en effet, le carré du module de la fonction d'onde ${\displaystyle |\Psi ({\vec {r}},t)\rangle }$ est une densité de probabilité de présence de la particule au point ${\displaystyle {\vec {r}}}$ et à l'instant ${\displaystyle t}$. Par conséquent, l'intégrale de ce carré vaut 1, puisque la particule se trouve quelque part dans l'espace. En termes plus mathématiques, une fonction d'onde est de norme 1 dans l'espace des fonctions de carré sommable.

• Espace L¹
• Espace L¹_loc
• Espace de Sobolev
• Théorème de Riesz-Fischer