Théorème de Riesz-Fischer

En mathématiques, plus précisément en théorie de l'intégration, le théorème de Riesz-Fischer dit :

qu'une fonction est de carré intégrable si et seulement si la série de Fourier correspondante converge dans l'espace $L 2$ ;
que l'espace $L p$ est complet.

Ces deux énoncés (avec $p$ = 2 dans le second) ont été démontrés en 1907 par le Hongrois Frigyes Riesz[1] et l'Autrichien Ernst Sigismund Fischer[2] - [3] : Riesz a démontré le premier énoncé et Fischer le second, à partir duquel il a redémontré le premier.

Convergence de la série de Fourier

Le premier énoncé signifie que si la somme partielle de la série de Fourier correspondant à la fonction $f$ est donnée par

S_{N}f(x)=\sum _{n=-N}^{N}F_{n}\,e^{\mathrm {i} nx}

où $F n$ est le $n$ -ième coefficient de Fourier, donné par

F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,e^{-\mathrm {i} nx}~\mathrm {d} x

alors

\lim _{n\to \infty }\left\Vert S_{n}f-f\right\|=0

où $\left\Vert \cdot \right\|$ est la norme $L 2$ qui peut s'écrire pour une fonction $g$

\left\Vert g\right\|={\sqrt {\int _{-\pi }^{\pi }|g|^{2}}}

Inversement, si $(a n)$ est une suite de nombres complexes indexée par l'ensemble des entiers relatifs telle que

\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|a_{n}\right\vert ^{2}<\infty

alors il existe une fonction $f$ de carré intégrable telle que les $a n$ sont les coefficients de Fourier de $f$ .

Ce théorème généralise l'inégalité de Bessel et peut être utilisé pour démontrer l'égalité de Parseval pour les séries de Fourier.

Complétude de l'espace $L p$

Pour tout $p > 0$ , l'espace métrique $L p$ est complet. Dans le cas usuel $1 \leq p \leq \infty$ , c'est par ailleurs un espace vectoriel normé, donc un espace de Banach ; en particulier si $p$ = 2, c'est un espace de Hilbert.

On démontre au passage que pour $p \geq 1$ , toute suite de Cauchy dans $L p$ — autrement dit, a posteriori : toute suite convergente dans $L p$ — possède une sous-suite qui converge presque partout.

Démonstration pour $p \geq 1$

Le cas $p = \infty$ étant immédiat (il s'agit de convergence uniforme en dehors d'un ensemble négligeable), fixons $1 \leq p < \infty$ et une suite de Cauchy $(f n)$ d'éléments de $L p$ .

Elle possède une sous-suite $(g n)$ vérifiant :

\forall n\in \mathbb {N} ,\quad \|g_{n+1}-g_{n}\|_{p}<2^{-n},

et il suffit, pour prouver que $(f n)$ converge, de montrer que $(g n)$ converge. Pour cela, posons

g=\sum _{n\in \mathbb {N} }|g_{n+1}-g_{n}|.

Cette fonction $g$ est mesurable et vérifie (par convergence monotone et inégalité de Minkowski) :

\|g\|_{p}\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\|g_{n+1}-g_{n}\|_{p}<\infty .

Elle est donc finie presque partout, c'est-à-dire qu'en tout point $x$ hors d'un certain ensemble négligeable, la série numérique $\sum _{n\in \mathbb {N} }(g_{n+1}-g_{n})(x)$ est absolument convergente, donc convergente. En dehors de cet ensemble négligeable, la suite $(g n)$ converge donc simplement vers une certaine fonction $f$ qui est, de ce fait, mesurable. On conclut en remarquant que $f$ vérifie :

\|f-g_{n}\|_{p}\leq \sum _{k\geq n}\|g_{k+1}-g_{k}\|_{p}\leq 2^{-n+1},

si bien qu'elle appartient à $L p$ et que la suite $(g n)$ converge dans cet espace.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Riesz–Fischer theorem » (voir la liste des auteurs).
(en) Richard Beals, Analysis: An Introduction, Cambridge University Press, 2004 (ISBN 978-0-521-60047-7)
(en) John Horváth, « On the Riesz-Fischer theorem » [PDF]

F. Riesz, « Sur les systèmes orthogonaux de fonctions », CRAS, vol. 144,‎ 1907, p. 615–619.
E. Fischer, « Sur la convergence en moyenne », CRAS, vol. 144,‎ 1907, p. 1 022–1 024.
E. Fischer, « Applications d'un théorème sur la convergence en moyenne », CRAS, vol. 144,‎ 1907, p. 1 148-1 151.

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Théorème de Riesz-Fischer

Convergence de la série de Fourier

Complétude de l'espace Lp

Notes et références

Complétude de l'espace $L p$