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Variation quadratique

En mathématiques, la variation quadratique est utilisée dans l'analyse des processus stochastiques, comme le mouvement brownien et autres martingales[1]. La variation quadratique est un type de variation d'un processus.

Définition

Pour un processus quelconque

Si est un processus stochastique à valeurs réelles défini sur un espace probabilisé et avec un indice de temps qui parcourt les nombres réels positifs, sa variation quadratique est le processus, noté , défini par :

,

où  parcourt les subdivisions de l'intervalle et la norme de la subdivision  est son pas. Cette limite, si elle existe, est définie à l'aide de la convergence en probabilité. Un processus peut avoir une variation quadratique finie au sens de la définition ci-dessus, tout en ayant ses parcours presque sûrement de variation quadratique infinie pour tous les , au sens classique où l'on prend la borne supérieure de la somme sur toutes les subdivisions ; c'est notamment le cas du mouvement brownien[2].

Plus généralement, la covariation de deux processus et est :

.

Pour une martingale

Avec les mêmes hypothèses, si est de plus une martingale, alors est une sous-martingale (d'après l'inégalité de Jensen conditionnelle). Par décomposition de Doob-Meyer on peut donc écrire de façon unique comme la somme d'une martingale et d'un processus prévisible croissant . Une définition alternative possible de la variation quadratique (de la martingale ) est alors :

.

Autrement dit, la variation quadratique de est le seul processus prévisible croissant tel que soit une martingale. On peut montrer[3] que ces deux définitions sont bien sûr équivalentes quand est une martingale.

Exemples

La variation quadratique d'un mouvement brownien standard est:

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quadratic variation » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Rajeeva L. Karandikar et B. V. Rao, « On quadratic variation of martingales », Proceedings - Mathematical Sciences (en), vol. 124, no 3,‎ , p. 457-469 (DOI 10.1007/s12044-014-0179-2).
  2. (en) Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, , 2e éd. (présentation en ligne).
  3. (en) Ioannis Karatzas et Steven Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, coll. « graduate texts in mathematics », , XXIII, 470 (ISBN 978-0-387-97655-6, DOI 10.1007/978-1-4612-0949-2, lire en ligne), theorem 5.8 (page 32)

Voir aussi

Variation totale

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