Calcul stochastique

Avant le calcul, indiquons que :

• les majuscules telles que ${\displaystyle X}$ notent les variables aléatoires ;
• les majuscules avec en indice un ${\displaystyle t}$ (par exemple ${\displaystyle B_{t}}$) notent un processus stochastique qui est une famille de variables aléatoires indexée par ${\displaystyle t}$ ;
• un petit ${\displaystyle \mathrm {d} }$ à gauche d'un processus (par exemple ${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}}$) signifie un changement infinitésimal dans le processus aléatoire qui est une variable aléatoire.

L'intégrale stochastique d'un processus ${\displaystyle X_{t}}$ par rapport à un processus ${\displaystyle B_{t}}$ est décrite par l'intégrale :

${\displaystyle \int _{a}^{b}X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}}$

et est définie comme la limite en moyenne quadratique des sommes correspondantes de la forme :

${\displaystyle \sum X_{t_{i}}(B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}}).}$

Un point essentiel lié à cette intégrale est le lemme d'Itô.

La somme comme le produit de variables aléatoires est définie dans la théorie des probabilités. La somme implique une convolution de la fonction de densité des probabilités, et la multiplication est une addition répétée.

Une fois précisée la définition choisie pour une intégrale stochastique, on définit alors un processus d'Itô comme étant un processus stochastique ${\displaystyle X_{t}}$ de la forme :

${\displaystyle X_{t}(\omega )=X_{0}(\omega )+\int _{0}^{t}u_{s}(\omega ){\rm {d}}s+\int _{0}^{t}(v_{s}{\rm {d}}B_{s})(\omega )}$

avec ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ deux fonctions aléatoires satisfaisant quelques hypothèses techniques d'adaptation au processus ${\displaystyle B_{t}}$ et ${\displaystyle \omega }$ est une réalisation dans l'espace de probabilité sous-jacent.

Dans le formalisme du calcul différentiel avec la prescription d'Itô on note de façon équivalente la relation précédente comme :

${\displaystyle {\rm {d}}X_{t}=u_{t}\,{\rm {d}}t+v_{t}\,{\rm {d}}B_{t}}$

Notons le mouvement brownien (MB) par ${\displaystyle \{B_{t}\}_{t\in T}}$ et l'intégrale de Wiener par ${\displaystyle \int _{a}^{b}(.)\mathrm {d} B}$.

On dit qu'une fonction ${\displaystyle h:[a,b]\to \mathbb {R} }$ est une fonction en escalier (donc dense dans ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$) s'il existe ${\displaystyle \sigma }$ une subdivision de ${\displaystyle [a,b]}$ et s'il existe ${\displaystyle \alpha _{0},...,\alpha _{N_{\sigma }-1}\in \mathbb {R} }$ tels que :

${\displaystyle h=\sum _{k=0}^{N_{\sigma }-1}\alpha _{k}1_{[t_{k}^{\sigma },t_{k+1}^{\sigma }[}}$

Alors, on pose :

${\displaystyle \int _{a}^{b}h(s)\mathrm {d} B(s)=\sum _{k=0}^{N_{\sigma }-1}\alpha _{k}\{B(t_{k+1}^{\sigma })-B(t_{k}^{\sigma })\}}$

Il est clair que ${\displaystyle \int _{a}^{b}h(s)\mathrm {d} B(s)}$ est une variable aléatoire gaussienne centrée de variance ${\displaystyle \int _{a}^{b}|h(s)|^{2}\mathrm {d} s}$.

De plus, soit ${\displaystyle g\in L^{2}([a,b])}$ et ${\displaystyle H_{n}}$ une suite de fonctions en escalier de ${\displaystyle g\in L^{2}([a,b])}$. Alors, la suite ${\displaystyle \left(\int _{a}^{b}H_{n}(s)\mathrm {d} B(s)\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ converge vers une limite dans ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$. De plus, cette limite ne dépend pas de la suite ${\displaystyle (H_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ et est notée par ${\displaystyle \int _{a}^{b}g(s)\mathrm {d} B(s)}$.

Soit ${\displaystyle Z}$ le mouvement brownien standard défini sur l’espace probabilisé ${\displaystyle (\Omega ,A,F,P)}$ et ${\displaystyle \sigma }$ un processus adapté à ${\displaystyle F}$. On suppose par ailleurs que ${\displaystyle \sigma }$ vérifie :

${\displaystyle E\left(\int _{0}^{T}\sigma _{s}^{2}\mathrm {d} s\right)<+\infty }$.

Alors, l’intégrale stochastique de ${\displaystyle \sigma }$ par rapport à ${\displaystyle Z}$ est la variable aléatoire :

${\displaystyle \left(\int _{0}^{T}\sigma _{s}\mathrm {d} Z_{s}\right)=\lim _{N\to +\infty }\sum _{n=1}^{N}\sigma _{t_{n-1}}\left(Z_{t_{n}}-Z_{t_{n-1}}\right)}$.

Soit ${\displaystyle x}$ un processus stochastique tel qu'on ait ${\displaystyle \mathrm {d} x=a\mathrm {d} t+b\mathrm {d} z}$ où ${\displaystyle z}$ est un processus de Wiener standard.

Alors d'après le lemme d'Itô, on a pour une fonction ${\displaystyle G=G(x,t)}$

${\displaystyle \mathrm {d} G={\frac {\mathrm {\partial } {G}}{\mathrm {\partial } {t}}}\mathrm {d} t+{\frac {\mathrm {\partial } {G}}{\mathrm {\partial } {x}}}\mathrm {d} x+{\frac {1}{2}}b^{2}{\frac {\mathrm {\partial } ^{2}{G}}{\mathrm {\partial } {x^{2}}}}\mathrm {d} t}$

Les méthodes de Monte-Carlo reposent sur la Loi des grands nombres. En répétant un grand nombre de fois une expérience, de façon (théoriquement) indépendante, on obtient une approximation de plus en plus fiable de la vraie valeur de l'espérance du phénomène observé.

De telles méthodes sont notamment utilisées en finance pour la valorisation d’options pour lesquelles il n’existe pas de formule fermée, mais uniquement des approximations numériques.

• Nathalie Bartoli et Pierre Del Moral, Simulation & algorithmes stochastiques, Cépaduès, 2001 (ISBN 2-85428-560-3).
• Mario Lefebvre, Processus stochastiques appliqués, Hermann, 2006 (ISBN 2-7056-6561-7).
• Francis Comets et Thierry Meyre, Calcul stochastique et modèles de diffusions, Dunod, 2006 (ISBN 2-10-050135-6).
• Bassel Solaiman, Processus stochastiques pour l'ingénieur, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2006 (ISBN 2-88074-668-X).

• Chaîne de Markov
• Modèle de Markov caché
• Processus de décision markovien
• Mouvement brownien
• Physique statistique
• Modèle des urnes d'Ehrenfest
• Processus stochastique
• Équation différentielle stochastique
• Matrice stochastique
• Calculateur stochastique