Processus de Wiener

Le processus de Wiener est défini comme un mouvement brownien standard monodimensionnel, démarrant à l'origine, et à valeurs réelles.

Concrètement, cela se traduit de la manière suivante :

On dit qu'une famille de variables aléatoires à valeurs réelles ${\displaystyle (W_{t})_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}$ est un processus de Wiener si :

1. ${\displaystyle \forall t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n},W_{t_{0}},W_{t_{1}}-W_{t_{0}},\dots ,W_{t_{n-1}}-W_{t_{n}}}$ sont des variables aléatoires indépendantes.
2. ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\forall s,t\in \mathbb {R} ^{+},\mathbb {P} (\{W_{s+t}-W_{s}\in A\})=\int _{A}{\dfrac {1}{\sqrt {2\pi t}}}\exp \left(-{\dfrac {x^{2}}{t}}\right)dx}$
3. ${\displaystyle \mathbb {P} (t\mapsto W_{t}{\text{ est continue}})=1}$
4. ${\displaystyle \mathbb {P} (W_{0}=0)=1}$

La propriété 1) signifie que les accroissements du processus sont indépendants.

La propriété 2) dit que les accroissements sont stationnaires.