Processus de Lévy

Un processus stochastique à temps continu associe une variable aléatoire X_t à tout instant t ≥ 0. C'est donc une fonction aléatoire de t. Les accroissements d'un tel processus sont les différences X_s − X_t entre ses valeurs à différents instants t < s. Dire que les accroissements d'un processus sont indépendants signifie que les accroissements X_s − X_t et X_u − X_v sont des variables aléatoires indépendantes à partir du moment où les intervalles de temps ne se chevauchent pas, et plus généralement, tout nombre fini d'accroissements sur des intervalles de temps non chevauchant sont mutuellement indépendants (et pas seulement indépendants deux à deux).

Dire que les accroissements sont stationnaires signifie que la loi de chaque accroissement X_s − X_t ne dépend que de la longueur s − t de l'intervalle de temps.

Par exemple pour un processus de Wiener, la loi de X_s − X_t est une loi normale d'espérance 0 et de variance s − t.

Pour un processus de Poisson homogène, la loi de X_s − X_t est une loi de Poisson d'espérance λ(s − t), où λ > 0 est l'"intensité" ou le "taux" du processus.

Le processus de Lévy est en rapport avec les lois infiniment divisibles :

• Les lois des accroissements d'un processus de Lévy sont infiniment divisibles, les accroissements de longueur t étant la somme de n accroissements de longueur t/n qui sont i.i.d. (indépendantes identiquement distribuées) par hypothèse.
• Réciproquement, à chaque loi infiniment divisible correspond un processus de Lévy : une telle loi D étant donnée, on définit un processus stochastique pour tout temps rationnel positif en la multipliant et la divisant, on définit sa loi en 0 à partir de la distribution de Dirac en 0, enfin on passe à la limite pour tout temps réel positif. L'indépendance des accroissements et la stationnarité proviennent de la propriété de la divisibilité, bien qu'il faille vérifier la continuité, et le fait que le passage à la limite donne une fonction bien définie sur les temps irrationnels.

Le n-ième moment ${\displaystyle \mu _{n}(t)=E(X_{t}^{n})}$ d'un processus de Lévy, lorsqu'il est fini, est une fonction polynomiale en t, qui vérifie une identité de type binomial :

${\displaystyle \mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{n-k}(s).}$

Définition

X est un processus de Wiener (ou mouvement brownien standard) si et seulement si

1. pour tout ${\displaystyle t\geq 0}$, la variable aléatoire ${\displaystyle X_{t}}$ est de loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,t)}$,
2. ses trajectoires sont presque sûrement continues ; c'est-à-dire, pour presque tout ${\displaystyle \omega }$, l'application ${\displaystyle t\mapsto X_{t}(\omega )}$ est continue.

Propriétés

• Sa transformée de Fourier est donnée par :

${\displaystyle \mathbb {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=\exp \left(-{\frac {1}{2}}t\theta ^{2}\right)}$

voir la page mouvement brownien.

Définition

X est un Processus de Poisson composé de paramètres un réel ${\displaystyle c\geq 0}$ et une mesure ${\displaystyle \nu }$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ si et seulement si sa transformée de Fourier est donnée par

${\displaystyle \mathbb {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=\exp \left(ct\left(\int _{\mathbb {R} }e^{i\theta x}\nu (dx)-1\right)\right)}$.

Propriétés

• Un processus de Poisson composé de paramètres ${\displaystyle c\geq 0}$ et pour mesure la mesure de Dirac en 1 (${\displaystyle \nu =\delta _{1}}$) est un processus de Poisson.
• Soient N un processus de Poisson de paramètre ${\displaystyle c\geq 0}$ et ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}Y_{k}}$ une marche aléatoire dont la loi des pas est ${\displaystyle \nu }$ (la loi de ${\displaystyle Y_{1}}$), alors le processus défini par ${\displaystyle X_{t}=S_{N_{t}}}$ est un processus de Poisson composé.

Définition

X est un subordinateur si et seulement si X est un processus croissant.

Propriétés

• X est à variations bornées.
• X est transient.
• Sa transformée de Fourier est de la forme :

${\displaystyle \mathbb {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=\exp \left(-it\theta +t\int _{0}^{\infty }(1-e^{i\theta x})\nu (dx)\right)}$.

• Un subordinateur permet de faire un changement de temps, cela s'appelle une subordination. Si Z est un processus de Lévy et X est un subordinateur indépendant, alors le processus ${\displaystyle (Z_{X_{t}})_{t\geq 0}}$ est un processus de Lévy.

Définition

X est un processus de Lévy stable de paramètre ${\displaystyle \alpha \in \,]0,2]}$ (ou un processus de Lévy ${\displaystyle \alpha }$-stable) si et seulement si les deux processus ${\displaystyle (X_{c^{\alpha }t})_{t\geq 0}}$ et ${\displaystyle (cX_{t})_{t\geq 0}}$ ont la même loi pour tout réel ${\displaystyle c>0}$.

Cette propriété s'appelle la propriété de stabilité (ou scaling).

Propriétés

• Si ${\displaystyle \alpha =1}$, le processus de Lévy est une dérive déterministe ou un processus de Cauchy.
• Si ${\displaystyle \alpha =2}$, le processus de Lévy est un mouvement brownien.
• Pour ${\displaystyle \alpha \in ]0,1[\cup ]1,2[}$, sa transformée de Fourier est de la forme :

${\displaystyle \mathbb {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=\exp \left(c|\theta |^{\alpha }\left(1-ik\,\operatorname {sgn}(\theta )\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\right)\right)}$.

• D. Applebaum, Lévy Processes and Stochastic Calculus, Second Edition, Cambridge University Press, 2009
• J. Bertoin, Lévy Processes, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. (ISBN 0-52164-632-4)
• A.E. Kyprianou, Introductory Lectures on Fluctuations of Lévy Processes with Applications, Springer, Berlin, 2006.
• K.I. Sato, Lévy Processes and Infinitely divisible distributions, Cambridge Univsersity Press, 1999. (ISBN 0-521-55302-4)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lévy process » (voir la liste des auteurs).