Intégrale de Stratonovich

En calcul stochastique, l'intégrale de Stratonovich (aussi intégrale de Fisk-Stratonovich) est un type d'intégrale stochastique. Contrairement à l'intégrale d'Itô, où seul le point final gauche de l'intervalle de décomposition est nécessaire pour la construction

\sum Y_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}),

dans l'intégrale de Stratonovich, on utilise la moyenne arithmétique des extrémités gauche et droite

\sum {\tfrac {1}{2}}(Y_{t_{i}}+Y_{t_{i-1}})(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).

L'avantage de l'intégrale de Stratonovich sur l'intégrale d'Itô est que la formule d'Itô n'a que des différentiels du premier ordre.

L'intégrale de Fisk-Stratonovich porte le nom de Ruslan Stratonovich et Donald Fisk.

Intégrale de Stratonovich pour les semi-martingales

Soit $X$ et $Y$ des semi-martingales et $t\geq 0$ . L'intégrale de Stratonovich de Y par rapport à X est définie comme

{\begin{aligned}\int _{0}^{t}Y_{s-}\circ dX_{s}:&=\int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}-{\tfrac {1}{2}}\sum \limits _{s\leq t}\Delta Y_{s}\Delta X_{s}\\&=\int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}^{c}.\end{aligned}}

La première expression à droite est juste l'intégrale d'Itô[1].

Pour les semi-martingales continues

Si $X$ et $Y$ sont des semi-martingales continues, alors

\int _{0}^{t}Y_{s}\circ dX_{s}:=\int _{0}^{t}Y_{s}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}=(Y\cdot X)_{t}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t},

ou sous forme différentielle

Y_{t}\circ dX_{t}:=Y_{t}dX_{t}+{\tfrac {1}{2}}d[Y,X]_{t}.

Remarques

La définition de l'intégrale de Stratonovich peut être généralisée, de sorte que Y n'est plus une semi-martingale, mais simplement adaptée et càdlàg.

Dérivation

L'intégrale de Stratonovich est obtenue en prenant la moyenne arithmétique des extrémités gauche et droite de l'intervalle de décomposition. Soit $\Delta$ une subdivision de $[0,t]$ et soit $X,Y$ des semi-martingales continues. S'applique alors

{\begin{aligned}\int _{0}^{t}Y_{s}\circ dX_{s}=\lim \limits _{|\Delta |\to 0}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {Y_{t_{i}}+Y_{t_{i-1}}}{2}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).\end{aligned}}

Relation entre l'intégrale de Itô et de Stratonovich

On a la relation suivante :

\int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}=\int _{0}^{t}Y_{s-}\circ dX_{s}-{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}^{c}.

Si X et Y sont des semi-martingales continues

(Y\cdot X)_{t}=\int _{0}^{t}Y_{s}\circ dX_{s}-{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}.

Formule d'Itô

Soit $X=(X^{1},\dots ,X^{n})$ une $\mathbb {R} ^{n}$ -semi-martingale et $f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$ , alors[2]

f(X_{t})-f(X_{0})=\sum \limits _{i=1}^{n}\int _{0+}^{t}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{s-})\circ dX_{s}^{i}+\sum \limits _{0<s\leq t}\left(f(X_{s})-f(X_{s-})-\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{s-})\Delta X_{s}^{i}\right)

Pour les semimartingales continue

Soit $X=(X^{1},\dots ,X^{n})$ une $\mathbb {R} ^{n}$ -semi-martingale continue et $f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$ , alors

f(X_{t})-f(X_{0})=\sum \limits _{i=1}^{n}\int _{0}^{t}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{s})\circ dX_{s}^{i}.

Généralisations

Une généralisation pour les semi-martingales avec sauts est l'intégrale de Marcus, qui est obtenue en réécrivant le terme de saut.

Bibliographie

Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, 2004 (ISBN 3-540-00313-4)

Notes et références

Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, 2004 (ISBN 3-540-00313-4), p. 82
Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, 2004 (ISBN 3-540-00313-4), p. 277-278

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