Matrice stochastique

Une matrice ${\displaystyle M\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$ est dite stochastique si toutes ses entrées sont positives (ou nulles) et si, pour tout ${\displaystyle i=1,...,n}$, on a ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}m_{ij}=1}$, c'est-à-dire que la somme des coordonnées de chaque ligne vaut 1[1].

Une matrice stochastique est dite régulière s'il existe un entier ${\displaystyle k>0}$ tel que la matrice ${\displaystyle M^{k}}$ ne contient que des réels strictement positifs.

Une matrice est dite bistochastique (ou doublement stochastique) si la somme des éléments de chaque ligne et de chaque colonne vaut 1, autrement si ${\displaystyle M}$ et sa transposée ${\displaystyle M^{t}}$ sont stochastiques.

Une autre caractérisation des matrices stochastiques est donnée par :

• ${\displaystyle M}$ est une matrice stochastique si et seulement si ${\displaystyle M\geq 0}$ (ses coefficients sont positifs ou nuls) et ${\displaystyle Me=e}$, où ${\displaystyle e}$ désigne le vecteur de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dont toutes les coordonnées valent 1.
• ${\displaystyle M}$ est bistochastique si ${\displaystyle M\geq 0}$, ${\displaystyle Me=e}$ et ${\displaystyle e^{*}M=e^{*}}$, où ${\displaystyle e^{*}}$ est le vecteur transposé de ${\displaystyle e}$.

D'après la propriété précédente, puisque 1 est une valeur propre de ${\displaystyle M}$ avec comme vecteur propre à droite le vecteur colonne dont toutes les coordonnées valent 1 :

• Si ${\displaystyle M}$ est une matrice stochastique, on appelle vecteur stable pour ${\displaystyle M}$ un vecteur ligne non nul ${\displaystyle v}$ tel que ${\displaystyle vM=v}$ , autrement dit : un vecteur propre à gauche pour la valeur propre 1 (et ${\displaystyle M}$ possède toujours au moins un vecteur stable).

Une caractérisation du rayon spectral d'une matrice stochastique est donnée par :

• Si ${\displaystyle M}$ est une matrice stochastique, alors ${\displaystyle ||Mx||_{\infty }\leq ||x||_{\infty }}$ pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$, de sorte que le rayon spectral ${\displaystyle \rho (M)\leq 1}$. Or, comme ${\displaystyle Me=e}$, on a en fait ${\displaystyle \rho (M)=1}$. Ainsi, le rayon spectral d'une matrice stochastique vaut précisément 1.

D'autres résultats sont donnés par :

• Le produit de deux matrices stochastiques est stochastique.
• Toute matrice stochastique indexée par E×E opère sur l'espace des applications bornées de E dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .
• Si ${\displaystyle M}$ est une matrice stochastique et si ${\displaystyle p}$ est une probabilité alors ${\displaystyle pM}$ est une probabilité.

La matrice suivante est stochastique mais pas bistochastique :

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}3&0{,}2\\0{,}2&0{,}8&0\\0{,}3&0{,}3&0{,}4\end{pmatrix}}.}$

Le vecteur ${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&6&1\end{pmatrix}}}$ est stable pour M.

La matrice stochastique M est régulière car

${\displaystyle M^{2}={\begin{pmatrix}0{,}37&0{,}45&0{,}18\\0{,}26&0{,}70&0{,}04\\0{,}33&0{,}45&0{,}22\end{pmatrix}}.}$

Le théorème des matrices stochastiques stipule que, si A est une matrice stochastique régulière, alors

• la chaîne de Markov de matrice de transition A est irréductible ;
• A possède un unique vecteur stable t dont la somme des coordonnées vaut 1 (autrement dit : le sous-espace vectoriel des vecteurs stables est de dimension 1 — les vecteurs stables sont tous colinéaires) ;
• les coordonnées de t sont toutes strictement positives.

De plus, si x₀ est une loi initiale quelconque (i.e. est un vecteur à coordonnées positives ou nulles et de somme 1), et si x_k+1 = x_kA pour k = 0, 1, 2, … alors la chaîne de Markov {x_k} converge vers t quand ${\displaystyle k\to \infty }$. C’est-à-dire :

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\mathbf {x} _{0}A^{k}={\textbf {t}}.}$

Le rôle des matrices stochastiques est important, notamment dans l'étude des chaînes de Markov. Une caractéristique importante des matrices doublement stochastiques (ou bistochastiques) est fourni par les matrices de permutation ${\displaystyle P(\sigma )}$, ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {S}}^{n}}$, dont les coefficients valent ${\displaystyle p_{ij}=\delta _{\sigma (i)}^{j}}$, avec ${\displaystyle \delta }$ le symbole de Kronecker.

Le théorème de Birkhoff montre ce rôle central qu'ont les matrices de permutations dans la caractérisation des matrices bistochastiques :

Une conséquence de théorème est donnée par le résultat suivant[2] :

Deux autres résultats sur les matrices bistochastiques utilisent la relation décrite par le symbole ${\displaystyle \prec }$, défini par : Soient ${\displaystyle a=(a_{1},...,a_{n})}$ et ${\displaystyle b=(b_{1},...,b_{n})}$ deux suites de ${\displaystyle n}$ nombres réels. On dit que b majore a, et on note ${\displaystyle a\prec b}$ si :

• ${\displaystyle a_{1}+...+a_{k}\leq b_{1}+...+b_{k}}$ pour tout ${\displaystyle k=1,...,n-1}$ ;
• ${\displaystyle a_{1}+...+a_{n}=b_{1}+...+b_{n}}$.

Il s'agit d'une relation d'ordre partielle.

Les deux théorèmes sont :