Modèle de Markov caché

Imaginons un jeu simple, avec des sacs en papier (opaques) contenant des jetons numérotés.

À chaque tour du jeu nous tirons un jeton d'un sac et, en fonction du jeton, passons à un autre sac.

Après chaque tour, le jeton est remis dans le sac, nous notons enfin la séquence des numéros tirés.

Nous disposons de deux sacs, appelés A et B, ainsi que d'un ensemble de jetons numérotés a et b.

Dans chaque sac nous plaçons un certain nombre de jetons a et un certain nombre de jetons b : dans cet exemple, nous plaçons dans le sac A 19 jetons b et un seul jeton a. Dans le sac B nous plaçons 4 jetons a et un seul jeton b.

• Nous commençons par piocher un jeton au hasard dans le sac A. Si l'on pioche un jeton a, on reste sur ce sac, si l'on pioche un jeton b, on passe au sac B. On note également quel jeton a été tiré et on le remet dans le sac.
• On recommence cette étape avec le sac en cours, jusqu'à ce que le jeu s'arrête (au bon vouloir du joueur).

Nous avons les probabilités de passer à une station suivante :

En jouant plusieurs parties, nous sommes susceptibles d'obtenir les séquences suivantes :

• a b a b a b a a b a
• a b b a b a b a b a
• a b b a b b a b a b
• …

Ce jeu peut être modélisé par une chaîne de Markov : chaque sac représente un état, la valeur du jeton donne la transition, la proportion de jeton d'une valeur est la probabilité de la transition.

Notre exemple du jeu du sac en papier est équivalent à l'automate de Markov suivant :

Nous reprenons en partie le modèle précédent mais introduisons de nouveaux types de sacs :

• Des sacs pour savoir dans quel sac effectuer le prochain tirage ;
• Des sacs de sortie pour générer la séquence.

À partir de la séquence générée, il sera généralement impossible de déterminer quels tirages ont conduit à quelle séquence, la séquence de tirage dans les sacs donnant les transitions est inconnue, c'est pourquoi on parle de sacs en papier cachés.

Repartons de l'exemple précédent. Nous conservons les sacs A et B, qui donnent les transitions, et ajoutons deux sacs A' et B' (contenant des jetons j et k), situés juste à côté :

• A' contient quatre jetons j et un jeton k ;
• B' contient un jeton j et quatre jetons k.

Le jeu est le suivant :

• On part du groupe de sacs (A et A'), on tire un jeton dans le sac A', on consigne sa valeur (j ou k) et on le replace dans le sac ;
• On tire un jeton dans le sac A pour savoir dans quel groupe de sacs se feront les prochains tirages, on le replace ;
• Si le jeton sortant du sac A est un 'a' alors les prochains tirages se feront dans le groupe de sac (A et A'), si c'est un 'b', il se fera dans le groupe de sac (B et B') ;
• On recommence ces opérations autant de fois que le joueur le souhaite.

À chaque étape, on tire donc un jeton dans chaque sac d'un même groupe, à savoir A et A' ou B et B', ce qui permet d'avoir une valeur (j ou k) qui n'indique pas directement la transition.

Le jeu génère deux séquences :

• La séquence de sortie, connue, le résultat du jeu (ce sont les valeurs j ou k contenues dans les sacs A' et B') ;
• La séquence des transitions, inconnue (ce sont les valeurs a et b contenues dans les sacs A et B).

Pour cet exemple, nous avons pu générer les séquences suivantes :

On observe que des séquences de transitions identiques peuvent donner des sorties différentes, et vice-versa.

Ce jeu peut être modélisé par un Automate de Markov à états cachés : les groupes de sacs sont les états, les tirages donnant le groupe de tirages suivant sont les transitions (avec la probabilité associée en fonction de la proportion des jetons dans les sacs A ou B), les sacs de sortie donnent les valeurs de sortie de l'automate (avec la probabilité associée en fonction de la proportion des jetons dans les sacs A' ou B').

Le jeu précédent correspond donc à l'automate de Markov à états cachés suivant :

Les flèches en pointillés indiquent les sorties probables à chaque passage dans un état.

Formellement, un MMC est défini par :

${\displaystyle {\mathit {S}}=\{{\mathit {s_{1}}},\ldots ,{\mathit {s_{N}}}\}}$ l'ensemble discret des ${\displaystyle {\mathit {N}}}$ états du modèle; on désigne un état au temps ${\displaystyle {\mathit {t}}}$ par ${\displaystyle {\mathit {q_{t}}}\in {\mathit {S}}}$.

${\displaystyle {\mathit {V}}=\{{\mathit {v_{1},\ldots ,v_{M}}}\}}$ l'ensemble discret des ${\displaystyle {\mathit {M}}}$ symboles observables; on désigne un symbole au temps ${\displaystyle {\mathit {t}}}$ par ${\displaystyle {\mathit {o_{t}}}\in {\mathit {V}}}$.

${\displaystyle {\mathit {\pi }}=\{{\mathit {\pi _{1},\ldots ,\pi _{N}}}\}}$ la probabilité de commencer dans l'état ${\displaystyle {\mathit {i}}\ \ (1\ \leq {\mathit {i}}\ \leq \ {\mathit {N}})}$.

${\displaystyle {\mathit {A}}=\{{\mathit {a_{ij}}}\}_{1\leq {\mathit {i,j}}\leq {\mathit {N}}}}$, où ${\displaystyle {\mathit {a_{ij}}}={\mathit {P}}({\mathit {q_{t+1}={\mathit {s_{j}}}\ |\ {\mathit {q_{t}}}={\mathit {s_{i}}}}})}$ pour les modèles d'ordre ${\displaystyle 1}$; ${\displaystyle {\mathit {A}}}$ est la matrice des probabilités de transitions entre états.

${\displaystyle {\mathit {B}}=\{{\mathit {b_{j}}}({\mathit {k}})\}_{1\leq {\mathit {j}}\leq {\mathit {N}},1\leq {\mathit {k}}\leq {\mathit {M}}}}$, où ${\displaystyle {\mathit {b}}_{{\mathit {j}}({\mathit {k}})}={\mathit {P}}({\mathit {o_{t}}}={\mathit {v_{k}}}\ |\ {\mathit {q_{t}}}={\mathit {s_{j}}})}$; ${\displaystyle {\mathit {B}}}$ est la matrice des probabilités d'observation dans les états.

Habituellement, on désigne un MMC par le triplet ${\displaystyle \{A,B,\pi \}}$.

Les contraintes classiques d'un MMC sont[2] :

${\displaystyle \sum _{i}\pi _{i}=1,\forall s_{i}\in S}$ : la somme des probabilités des états initiaux est égale à 1.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}a_{ij}=1,\forall {s_{i},s_{j}}\in S}$ : la somme des probabilités des transitions partant d'un état est égale à 1.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}b_{j}(k)=1,\forall k\in V}$ : la somme des probabilités des observations d'un état est égale à 1.

Au début des années 2000, une définition étendue des MMC a été proposée[3]${\displaystyle ^{,}}$[4]. Elle ajoute deux états spécifiques ${\displaystyle {\mathit {D}}}$ et ${\displaystyle {\mathit {F}}}$ qui modélisent respectivement les transitions permettant de (D)ébuter dans un état et de (F)inir dans un état.

Formellement, un MMC à états spécifiques est défini par :

${\displaystyle {\mathit {S}}=\{{\mathit {s_{1}}},\ldots ,{\mathit {s_{N}}},D,F\}}$ l'ensemble discret des ${\displaystyle {\mathit {N}}}$ états du modèle plus les deux états spécifiques ${\displaystyle {\mathit {D}}}$ et ${\displaystyle {\mathit {F}}}$; on désigne un état au temps ${\displaystyle {\mathit {t}}}$ par ${\displaystyle {\mathit {q_{t}}}\in {\mathit {S}}}$.

${\displaystyle {\mathit {V}}=\{{\mathit {v_{1},\ldots ,v_{M}}}\}}$ l'ensemble discret des ${\displaystyle {\mathit {M}}}$ symboles observables; on désigne un symbole au temps ${\displaystyle {\mathit {t}}}$ par ${\displaystyle {\mathit {o_{t}}}\in {\mathit {V}}}$.

${\displaystyle {\mathit {A}}=\{{\mathit {a_{ij}}}\cup \{a_{Di,i\neq D,F},a_{iF,i\neq D,F}\}\}_{1\leq {\mathit {i,j}}\leq {\mathit {N}}}}$, où ${\displaystyle {\mathit {a_{ij}}}={\mathit {P}}({\mathit {q_{t+1}={\mathit {s_{j}}}\ |\ {\mathit {q_{t}}}={\mathit {s_{i}}}}})_{i,j\neq D,F}}$, ${\displaystyle {\mathit {a_{Di,i\neq D,F}}}={\mathit {P}}({\mathit {q_{1}={\mathit {s_{i}}}\ |\ {\mathit {D}}}})}$, ${\displaystyle {\mathit {a_{iF,i\neq D,F}}}={\mathit {P}}({\mathit {{\mathit {F}}\ |\ q_{T}={\mathit {s_{i}}}}})}$ pour les modèles d'ordre ${\displaystyle 1}$; ${\displaystyle {\mathit {A}}}$ est la matrice des probabilités de transitions entre états.

${\displaystyle {\mathit {B}}=\{{\mathit {b_{j}}}({\mathit {k}})\}_{1\leq {\mathit {j}}\leq {\mathit {N}},1\leq {\mathit {k}}\leq {\mathit {M}}}}$, où ${\displaystyle {\mathit {b}}_{{\mathit {j}}({\mathit {k}})}={\mathit {P}}({\mathit {o_{t}}}={\mathit {v_{k}}}\ |\ {\mathit {q_{t}}}={\mathit {s_{j,j\neq D,F}}})}$; ${\displaystyle {\mathit {B}}}$ est la matrice des probabilités d'observation dans les états; Les états spécifiques ${\displaystyle {\mathit {D}}}$ et ${\displaystyle {\mathit {F}}}$ n'ont pas de probabilité d'observation.

On désigne un MMC à états spécifiques par le couple ${\displaystyle \{A,B\}}$.

Les contraintes d'un MMC à états spécifiques sont :

${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}a_{ij}=1,\ \forall {i,j}\in S,\ {i\neq F,j\neq D}}$.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}b_{j}(k)=1,\ \forall k\in V,\ \forall j\in N,j\neq D,F}$.

Notons que la probabilité de commencer en un état (${\displaystyle {\mathit {\pi }}}$) a disparu : elle est élégamment remplacée par les transitions de ${\displaystyle {\mathit {D}}}$ vers les états concernés; d'un point de vue intellectuel, ces transitions sont plus en accord avec la théorie des graphes, puisqu'il n'y a plus de cas spécifique pour le démarrage, mais des transitions comme toutes les autres; d'un point de vue technique, ces transitions sont strictement équivalentes aux probabilités de commencer dans des états, et leur réestimation conduit exactement au même résultat.

Concernant l'état ${\displaystyle {\mathit {F}}}$, il permet de sortir proprement du modèle : cela mérite quelques explications. Pour des modèles fortement structurés[5], où les états se succèdent sans auto-boucler, les états finaux sont ceux où la dernière observation peut être vue. Pour des modèles où des états bouclent sur eux-mêmes[3], la notion de fin n'est pas déterminée : théoriquement, chaque état peut être final, sauf à avoir un ou des états finaux par structuration(s) forte(s) locale(s). L'état ${\displaystyle {\mathit {F}}}$ vient pallier ce manque : en assignant une probabilité de finir en des états, il contraint le modèle à évaluer cette probabilité, qui modélise alors l'équilibre entre la transition d'un état sur lui-même et sa qualité d'état final.

• Reconnaissance de la parole.
• Traitement automatique du langage naturel (traduction automatique, étiquetage de texte, reconstruction de texte bruités…).
• Reconnaissance de l'écriture manuscrite.
• Bio-informatique, notamment pour la prédiction de gènes.