Fonction continue nulle part dérivable

Continuité

Par définition de g, on a

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|{\frac {1}{2^{k}}}g(2^{2^{k}}x)\right|={\frac {1}{2^{k}}}}$

Or la série géométrique ${\displaystyle \sum _{k}2^{-k}}$ est convergente, si bien que la suite (f_n) converge normalement donc uniformément vers f. Comme de plus ${\displaystyle x\mapsto 2^{-k}g(2^{2^{k}}x)}$ est continue sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, il en est de même de f_n et de sa limite uniforme f.

Dérivabilité

Soit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. On va construire une suite de réels (h_n) convergeant vers 0 et telle que

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left|{\frac {f(x+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}\right|=+\infty }$

ce qui assurera que f n'est pas dérivable en x.

Pour ce x fixé et pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$, on choisit ε_n = ±1 tel que 2²ⁿx et 2²ⁿx + ε_n soient dans le même intervalle de la forme [2N ; 2N+2]. On pose alors ${\displaystyle h_{n}:=\varepsilon _{n}2^{-2^{n}}}$.

• Pour k > n, on sait que 2^2kh_n est un multiple de 4, et comme g est de période 4, on a

  ${\displaystyle g(2^{2^{k}}(x+h_{n}))-g(2^{2^{k}}x)=0.}$

• Pour k = n, on a

  ${\displaystyle |g(2^{2^{n}}(x+h_{n}))-g(2^{2^{n}}x)|=|g(\varepsilon _{n}+2^{2^{n}}x)-g(2^{2^{n}}x)|=1.}$

• Pour k < n, comme on sait, par construction de la fonction g que

  ${\displaystyle |g(b)-g(a)|\leq |b-a|}$

  (la pente de la droite joignant deux points de C_g est toujours comprise entre -1 et 1). On a en particulier

  ${\displaystyle |g(2^{2^{k}}(x+h_{n}))-g(2^{2^{k}}x)|\leq |2^{2^{k}}h_{n}|\leq 2^{2^{n-1}}2^{-2^{n}}=2^{-2^{n-1}}}$

  donc

  ${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n-1}2^{-k}\left(g(2^{2^{k}}(x+h_{n}))-g(2^{2^{k}}x)\right)\right|\leq \left(\sum _{k=1}^{n-1}2^{-k}\right)2^{-2^{n-1}}\leq 2^{-2^{n-1}}.}$

On peut donc minorer le taux d'accroissement de f en x :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {f(x+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}\right|&=2^{2^{n}}\left|\sum _{k=1}^{+\infty }2^{-k}\left(g(2^{2^{k}}(x+h_{n}))-g(2^{2^{k}}x)\right)\right|\\&=2^{2^{n}}\left|\sum _{k=1}^{n}2^{-k}\left(g(2^{2^{k}}(x+h_{n}))-g(2^{2^{k}}x)\right)\right|\\&\geq 2^{2^{n}}\left(2^{-n}-\left|\sum _{k=1}^{n-1}2^{-k}\left(g(2^{2^{k}}(x+h_{n}))-g(2^{2^{k}}x)\right)\right|\right)\\&\geq 2^{2^{n}}(2^{-n}-2^{-2^{n-1}})=2^{2^{n}-n}(1-2^{n-2^{n-1}})\\&\longrightarrow +\infty {\text{ quand }}n\to +\infty \end{aligned}}}$

Ceci montre que f n'est pas dérivable en x, or ce point est arbitraire, donc f n'est dérivable en aucun point de ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Soit ${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$ continue. On a vu d'après la section précédente qu'il existe au moins une fonction ${\displaystyle g:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$ continue partout nulle part dérivable. On sait alors que ${\displaystyle f-g}$ est une fonction continue de [0, 1] dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, donc d'après le théorème de Stone-Weierstrass, elle est limite uniforme sur [0, 1] d'une suite ${\displaystyle (P_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ de fonctions polynomiales. La fonction ${\displaystyle f}$ est alors limite uniforme sur [0, 1] des fonctions ${\displaystyle g+P_{n}}$, qui sont continues (comme sommes de deux fonctions continues) mais nulle part dérivables (comme sommes d'une fonction nulle part dérivable et d'une fonction polynomiale donc partout dérivable).

Si une fonction f est continue sur [0, 1] et dérivable en un point x, la fonction y ↦ (f(y) – f(x))/(y – x), définie ailleurs qu'en x, se prolonge en une fonction continue sur [0, 1] donc bornée. Dans l'espace C([0, 1]) des fonctions continues de [0, 1] dans ℝ, le sous-espace F des fonctions dérivables en au moins un point est donc inclus dans la réunion, pour n ∈ ℕ, des

${\displaystyle F_{n}{:=}\{f\in C([0,1])\mid \exists x\in [0,1]~\forall y\in [0,1]~|f(y)-f(x)|\leq n|y-x|\}.}$

Pour la topologie de la convergence uniforme, chacun de ces F_n est :

• fermé car si f_k ∈ F_n et f_k → f alors f ∈ F_n. En effet, soit, pour chaque k, un témoin x_k de l'appartenance de f_k à F_n. Alors, toute valeur d'adhérence de (x_k) est un témoin de l'appartenance de f à F_n.
• d'intérieur vide car il contiendrait sinon une boule de rayon positif, centrée en un polynôme P (d'après le théorème de Stone-Weierstrass). Or pour toute constante M, on construit facilement une fonction g (par exemple affine par morceaux) telle que P + g appartienne à cette boule et telle que pour tout x, |g(y) – g(x)| > (M + n)|y – x| pour au moins un y donc, en ayant choisi pour M un majorant de |P ' |, |(P + g)(y) – (P + g)(x)| > n|y – x|, d'où une contradiction.

Ainsi, F est maigre. D'après le lemme de Baire, son intérieur est donc vide. Autrement dit : son complémentaire — l'ensemble des fonctions de C([0, 1]) nulle part dérivables — est dense.