Fonction de Bolzano

La fonction de Bolzano est définie comme la limite d'une suite de fonctions. De plus, on peut choisir le domaine de définition et l'ensemble d'images comme des intervalles fermés arbitraires de nombres réels.

Soit donc [a, b] l'intervalle de définition et [A, B] l'intervalle image.

Transformation linéaire par morceaux d'un segment entre ${\displaystyle B_{k-1}}$ et ${\displaystyle B_{k}}$ (version ascendante)

La première fonction B₀ sera la fonction affine telle que ${\displaystyle B_{0}(a)=A\,,\,B_{0}(b)=B}$, soit:

${\displaystyle B_{0}(x):=A+{\frac {B-A}{b-a}}(x-a)}$

B₁ est une fonction linéaire par morceaux, chaque morceau étant défini sur quatre sous-intervalles de même taille comme suit :

1. ${\displaystyle B_{1}(a)=A}$
2. ${\displaystyle B_{1}\left(a+{\frac {3}{8}}(b-a)\right)=A+{\frac {5}{8}}(B-A)}$
3. ${\displaystyle B_{1}\left({\frac {1}{2}}(a+b)\right)=A+{\frac {1}{2}}(B-A)}$
4. ${\displaystyle B_{1}\left(a+{\frac {7}{8}}(b-a)\right)=B+{\frac {1}{8}}(B-A)}$
5. ${\displaystyle B_{1}(b)=B}$

B₂ sera ainsi également linéaire par morceaux, chaque morceau linéaire subissant la transformation analogue à celle appliquée à B₀ pour définir B₁.

On définit alors par récurrence la suite de fonctions B_k

La fonction B de Bolzano est la limite de cette suite en chaque point de l'intervalle [a,b] :

${\displaystyle \forall x\in [a,b],\,B(x)=\lim _{k\rightarrow +\infty }B_{k}(x).}$

• (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Bolzanofunktion » (voir la liste des auteurs).
• (en) Johan Thim, Continuous Nowhere Differentiable Functions, Université de technologie de Luleå, décembre 2003 (lire en ligne) — Une thèse. Étude complète de l'histoire des fonctions continues nulle part dérivables.