Fonction de Weierstrass

Il s'agit en fait d'une famille de fonctions dépendant de deux paramètres, définie comme somme d'une série trigonométrique[2] par :

${\displaystyle f_{a,b}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x)}$

La fonction f_{a , b} est continue pour 0 < a < 1, (convergence uniforme sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de la série de fonction, par le critère de Weierstrass). Ce dernier supposait de plus b entier impair vérifiant ab > 1+3/2π pour prouver la non dérivabilité en tout point.

Hardy a prouvé ensuite que l'hypothèse ab ≥ 1 suffit pour qu'elle ne soit dérivable en aucun point, mais la preuve en est sensiblement plus difficile[2]. On peut simplifier sa démonstration dans le cas ab > 1[3].

Inversement, f_{a , b} est de classe C^k pour tout entier k tel que ab^k < 1.

La fonction de Weierstrass est l'une des toutes premières fractales étudiées, bien que ce terme n'ait été utilisé que beaucoup plus tard. En particulier cette fonction continue n'est, pour ab ≥ 1, monotone sur aucun intervalle, aussi petit soit-il.

Le calcul de la dimension D de Hausdorff du graphe de la fonction de Weierstrass est resté un problème ouvert jusqu'en 2017, bien que Mandelbrot ait conjecturé que ${\displaystyle D=2+\log _{b}a=2+{\frac {\ln a}{\ln b}}}$[4] - [5] ; cela n'a été démontré indépendamment par les mathématiciens allemand Gerhard Keller et chinois Weixiao Shen (en) que 30 ans plus tard[6] .

Cependant, la dimension de Minkowski-Bouligand (notion proche de celle de Hausdorff, obtenue en comptant des recouvrements par des carrés disjoints au lieu de disques), était, elle, déjà connue depuis les années 1980 et l'on sait désormais que les deux sont égales[7].

Il est pratique d'écrire la fonction Weierstrass de manière équivalente sous la forme :

${\displaystyle W_{\alpha }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{-n\alpha }\cos(b^{n}\pi x)\quad \mathrm {avec} \quad \alpha =-\ln a/\ln b}$.

Alors W_α est α-höldérienne[8], c'est-à-dire qu'il existe une constante C telle que

${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} ,\quad |W_{\alpha }(x)-W_{\alpha }(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }}$.

De plus, W₁ (donc pour ab = 1) est höldérienne pour tous les ordres strictement inférieurs à 1 mais pas lipschitzienne auquel cas elle aurait été presque partout dérivable (théorème de Rademacher).