Ensemble maigre

En topologie, dans le contexte des espaces de Baire, un ensemble maigre (on dit aussi de première catégorie) est une partie d'un espace de Baire qui, en un sens technique, peut être considérée comme de taille infime. Un ensemble comaigre est le complémentaire d'un ensemble maigre. Une partie qui n'est pas maigre est dite de deuxième catégorie.

Définition

Un sous-ensemble d'un espace topologique E est dit maigre lorsqu'il est contenu dans une réunion dénombrable de fermés de E qui sont tous d'intérieur vide[1].

Dit autrement[2], un sous-ensemble de E est maigre si et seulement s'il est réunion dénombrable d'ensembles nulle part denses dans E.

Propriétés

La notion est « sans intérêt » quand l'espace ambiant E n'est pas un espace de Baire. En effet, si E n'est pas de Baire, une partie maigre peut être égale à l'espace tout entier. En revanche, quand E est de Baire, la définition de ces espaces fournit aussitôt la caractérisation suivante :

Une partie d'un espace de Baire est :

maigre lorsqu'elle est contenue dans un F_σ d'intérieur vide[1] ;

comaigre lorsqu'elle contient un G_δ dense.

Il découle aussi de la définition qu'une réunion dénombrable de maigres est maigre. Cela fournit une technique rodée de preuve utilisée pour prouver qu'un certain sous-ensemble P d'un espace de Baire (non vide) E n'est pas vide : on décrit P comme intersection dénombrable d'une suite d'ensembles P_n dont on est capable de prouver qu'ils sont comaigres. L'ensemble P étant alors lui-même comaigre, il est dense dans E et a fortiori non vide[1]. Bien mieux : si E est séparé et parfait (c.-à-d. sans point isolé), P est non dénombrable[3], et si E est un espace complètement métrisable parfait non vide, P a même au moins la puissance du continu[4].

Si O est un ouvert de E alors toute partie maigre de O (pour la topologie induite) est maigre dans E (puisque toute partie nulle part dense de O est nulle part dense dans E).

Exemples

Au sein de l'ensemble ℝ des réels, qui est un espace métrique complet et donc un espace de Baire, l'ensemble ℚ des rationnels est maigre (c'est même un F_σ maigre) puisqu'on peut le représenter comme réunion dénombrable de singletons[1]. Sur cet exemple, on constate qu'une partie maigre n'a aucune raison d'être nulle part dense dans l'espace ambiant : ici elle est au contraire dense dans ℝ.
On en déduit que l'ensemble ℝ\ℚ des irrationnels n'est pas maigre : s'il l'était, sa réunion avec ℚ serait aussi maigre ; or elle est égale à ℝ qui n'est pas d'intérieur vide, donc pas maigre[1].
L'ensemble des nombres normaux est maigre, « bien que » son complémentaire soit négligeable[5].

Références

Laurent Schwartz, Topologie générale et analyse fonctionnelle, Hermann, 1970, p. 322-323. L'expression « sans intérêt » est une citation de cette source ; d'ailleurs Schwartz ne définit le terme « ensemble maigre » qu'au sein d'un espace de Baire.
(en) James Dugundji, Topology, Boston, Allyn & Bacon, 1966, 447 p. (ISBN 978-0-697-06889-7, lire en ligne), p. 250 pour cette présentation alternative de la définition. Dans cet ouvrage, il n'y a pas de restriction particulière sur l'espace topologique ambiant E.
Pierre Colmez, Éléments d’analyse et d’algèbre (et de théorie des nombres), Éditions de l’École Polytechnique, 2012, 2^e éd., corrigé de l'exercice 14.3 page 223.
Dans le cas particulier de l'espace ℕ^ω, voir l'exercice V.3.9.b de (en) P. Odifreddi, Classical Recursion Theory, Elsevier, coll. « Studies in Logic and the Foundations of Mathematics » (n^o 125), 1992, 2^e éd. (1^re éd. 1989) (lire en ligne), p. 475.
Cet exemple est mentionné, parmi d'autres, dans (en) « Is there a measure zero set which isn't meagre? », sur MathOverflow.

Articles connexes

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