La Valeur de la Science

La première partie du livre concerne exclusivement les sciences mathématiques, et plus particulièrement la relation entre intuition et logique en mathématique. Il examine tout d'abord quelle part de sciences revient à chacune de ces deux catégories de pensée scientifique, et en dégage quelques principes :

• l'idée que l'on se fait de l'intuition change au cours du temps historique (les Anciens étaient vus comme des logiciens à leur époque, mais ils nous apparaissent comme des intuitifs) : c'est donc que ce sont les idées qui ont changé, du fait d'une évolution de la pensée scientifique ;
• cette évolution s'est faite d'abord par l'arithmétisation des mathématiques, en somme par la reprise des idées intuitives dans un système axiomatique, par les premiers (vrais) logiciens.

Cette intuition historique est donc l'intuition mathématique. Pour Poincaré, elle est tributaire du principe de moindre effort, c'est-à-dire d'un attachement à la convention scientifique fondée sur l'expérience. La convention ainsi contextualisée permet de considérer diverses théories sur un même problème, et par la suite de faire un choix selon le degré de simplicité et de commodité des explications avancées par chacune des théories. L'exemple choisi par Poincaré est celui de l'espace à trois dimensions. Il montre comment la représentation de cet espace n'est qu'une convention, choisie pour sa commodité parmi plusieurs modèles que l'esprit peut développer sur ce problème. Sa démonstration repose sur la théorie du Continu mathématique (1893).

Finalement, Poincaré avance l'idée d'une interdépendance fondatrice de la science entre géomètres et analystes. Selon lui, l'intuition a deux rôles majeurs : elle permet de choisir quelle voie suivre dans la recherche de la vérité scientifique, et elle est un outil de compréhension indispensable du cheminement logique (« La logique qui peut seule donner la certitude est l'instrument de la démonstration : l'intuition est l'instrument de l'invention »). De plus, cette relation lui semble indissociable du progrès scientifique, qu'il présente comme une dilatation du cadre de la science — les nouvelles théories englobant les précédentes, même dans les ruptures de pensées.

Dans la seconde partie de son livre, Poincaré en vient à étudier les rapports entre physique et mathématiques. Son approche, tout à la fois historique et technique, constitue un exemple particulier des idées générales précédentes.

Bien qu'il fût rarement expérimentateur, Poincaré reconnaît et défend l'importance primordiale de l'expérimentation, qui doit rester un critère de la méthode scientifique en physique. Autrement dit, les mathématiques ne doivent pas ramener à elles la physique, mais s'y développer comme un atout. Cet atout serait d'abord un outil : aux dires de Poincaré, les mathématiques sont « la seule langue que [les physiciens] puissent parler » pour se comprendre et se faire comprendre. Ce langage du nombre semble d'ailleurs révéler une unité cachée des choses naturelles, quand bien même seule une partie des mathématiques s'applique à la physique théorique. L'objectif premier de la physique mathématique n'est pas l'invention ou la découverte, mais la reformulation. C'est une activité de synthèse, qui permet de s'assurer de la cohésion des théories qui ont cours à un moment donné. À un moment donné, car Poincaré reconnaît qu'il est impossible de systématiser toute la physique en une seule théorie axiomatique, à une époque donnée. Les idées de Poincaré sur l'espace et ses trois dimensions vont dans ce sens.

Quels sont les rapports qu'entretiennent physique et mathématiques ? Poincaré avance que les mathématiques (l'analyse) et la physique ont un même esprit, que les deux disciplines partagent un même but esthétique et qu'elles peuvent toutes deux libérer l'homme de sa simple condition. De façon plus pragmatique, ses arguments vont dans le sens d'une interdépendance, à l'image de celle mise à jour entre intuition et analyse. Le langage mathématique permet non seulement d'exprimer l'avancée scientifique, mais aussi de prendre du recul par rapport à l'étude de la Nature. Les mathématiques montrent l'étendue des découvertes ponctuelles et limitées qui sont faites par les physiciens. À l'inverse, la physique joue un rôle moteur pour le mathématicien, un rôle créatif en tant qu'elle pose des problèmes atypiques ancrés dans la réalité. De plus, elle suggère des solutions et des raisonnements - ainsi, le développement du calcul infinitésimal par Newton dans le cadre de la théorie de la Gravitation.

La physique mathématique est née de la Mécanique céleste. En premier lieu, elle est venue conforter la Physique des forces centrales, physique réaliste, mécaniste, qui a dominé le XVIII^e siècle et qui a permis des avancées solides, tant sur le plan théorique que sur le plan expérimental. Mais très vite, conjointement avec le développement de la thermodynamique puis en opposition, une vision énergétique de la physique commença à se développer parmi les physiciens. Dans ses concepts mathématiques et dans ses idées fondatrices, elle est clairement en désaccord avec la vision newtonienne des interactions entre les corps. C'est au terme d'une première crise que la physique mathématique aboutit à la Physique des principes.

« À quoi sert la science ? » est la question sous-jacente à l'ensemble du livre de Poincaré. À ce problème téléologique, Poincaré répond en prenant le contre-pied d'Édouard Le Roy, philosophe et mathématicien qui avance dans un article paru en 1905 (Sur la logique de l'invention) la thèse d'une science intrinsèquement anti-intellectualiste (au sens de Bergson) et nominaliste. À travers Le Roy, c'est la pensée de Pierre Duhem qui est visée. Poincaré explique que l'anti-intellectualisme est contradictoire pour la science, et que le nominalisme est fortement critiquable, parce que reposant sur des confusions de pensées et de définitions. Il défend l'idée de Principes conventionnels, et par là l'idée que l'action scientifique n'est pas une convention établie arbitrairement autour des faits bruts de l'expérience. Il veut plutôt montrer que l'objectivité de la science vient précisément de ce que le scientifique ne fait que traduire dans un langage particulier les faits bruts : « (...) tout ce que crée le savant dans un fait, c'est le langage dans lequel il l'énonce ». Le seul apport de la science serait le développement de ce langage de plus en plus mathématisé, un langage cohérent parce qu'offrant la prévision utile — mais non certaine : sous le joug irrévocable de son adéquation au réel et toujours faillible.

• « La valeur de la science », sur Henri Poincaré : Editions électroniques (Université de Lorraine).