Calcul infinitésimal

Le développement du calcul infinitésimal est attribué à Archimède, Fermat, Leibniz et Newton. Cependant, lorsque le calcul infinitésimal a été initialement développé, une controverse fut soulevée sur qui en avait la paternité entre Leibniz et Newton, occultant auprès du grand public l'apport de Fermat. L'algorithme du passage à la limite pour calculer la tangente à une courbe est en effet une invention de Fermat (méthode des maxima et minima[1]) en 1636 et était public dès 1667, car rapporté par Huygens à l'Académie des sciences. Les évolutions ultérieures, de Leibniz et Newton (qui étaient en rapport avec Huygens), portent sur les notations. La contribution majeure de Leibniz fut sans conteste son système de notation.

La controverse fut cependant malheureuse car elle a divisé pendant de nombreuses années les mathématiciens anglophones et ceux du reste de l'Europe. Cela a retardé le progrès de l'analyse (mathématiques basées sur le calcul infinitésimal) en Grande-Bretagne pendant longtemps. La terminologie et les notations de Newton étaient clairement moins flexibles que celles de Leibniz. Elles furent malgré tout conservées jusqu'au début du XIX^e siècle lorsque le travail de l'Analytical Society introduisit avec succès la notation de Leibniz en Grande-Bretagne.

Barrow, Descartes, Huygens et Wallis contribuèrent également dans une moindre mesure au développement du calcul infinitésimal.

Kowa Seki, un mathématicien japonais contemporain de Leibniz et Newton, a aussi énoncé quelques principes fondamentaux du calcul intégral. Cependant la coupure des contacts avec l'Extrême-Orient à cette époque ne permit pas la diffusion de ses travaux en Europe.

La justification première du développement du calcul différentiel était de trouver une solution du « problème de la tangente ».

Pour rendre concrètes ces notions, on considère dans le plan (xOy) un rectangle de côtés x et y dont deux points opposés sont O et M(x,y). Sa surface est égale à xy et dépend des coordonnées x et y du point M. En suivant une démarche intuitive, on convient de noter par dx une très petite variation de la variable x. Lorsqu'on fait subir au point M un déplacement très faible, la surface va changer et on peut écrire que S + dS = (x + dx)×(y + dy) = xy + x dy + y dx + dx dy, et on en déduit facilement que dS = x dy + y dx + dx dy.

Une simple application numérique où x et y seraient des mètres et dx et dy des centimètres illustre que dx dy est négligeable par rapport aux autres grandeurs.

On peut donner un statut mathématique précis aux notations dx et dy (qui sont des formes différentielles), et à la quantité dx dy qui est alors du second ordre. Le calcul précédent est en fait un calcul de développement limité à l'ordre 1, faisant intervenir les dérivées premières de la fonction xy par rapport aux deux variables.

On écrit donc :

${\displaystyle dS=(x+dx)\cdot (y+dy)-x\cdot y=y\cdot dx+x\cdot dy+dx\cdot dy=(y,x)\cdot (dx,dy)+dx\cdot dy={\overrightarrow {\nabla }}S\cdot {\overrightarrow {dOM}}+dx\cdot dy}$

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}S\cdot {\overrightarrow {dOM}}=(y{\vec {i}}+x{\vec {j}})\cdot (dx{\vec {i}}+dy{\vec {j}})=\left({\frac {\partial (xy)}{\partial x}}{\vec {i}}+{\frac {\partial (xy)}{\partial y}}{\vec {j}}\right)\cdot (dx{\vec {i}}+dy{\vec {j}})}$

Toutes ces égalités sont différentes façons d'écrire un produit scalaire de deux vecteurs :

${\displaystyle dS=(x+dx)\cdot (y+dy)-x\cdot y=y\cdot dx+x\cdot dy+dx\cdot dy=\mathrm {\overrightarrow {\mathrm {grad} }} (xy)\cdot {\overrightarrow {dOM}}+dx\cdot dy={\overrightarrow {\nabla }}(xy)\cdot {\overrightarrow {dOM}}+dx\cdot dy}$ où ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(xy)=(y,x)}$

L'intérêt de l'introduction de ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs paramètres est de visualiser le fait que la fonction va varier le plus dans la direction du vecteur gradient et qu'elle ne va pas varier pour tout changement des paramètres dans une direction perpendiculaire au gradient.

${\displaystyle (y{\vec {i}}+x{\vec {j}})\cdot (dx{\vec {i}}+dy{\vec {j}})=0}$ pour ${\displaystyle ydx+xdy=0}$ dans notre exemple du rectangle.

Le développement et l'utilisation du calcul infinitésimal a eu des conséquences importantes dans pratiquement tous les domaines. Il est à la base de beaucoup de sciences, notamment la physique. Presque toutes les techniques et technologies modernes font un usage fondamental du calcul infinitésimal.

Celui-ci s'est étendu avec les équations différentielles, le calcul vectoriel, le calcul des variations, l'analyse complexe, ou la géométrie différentielle.