Notation de Leibniz

En analyse, la notation de Leibniz, nommée en l'honneur de Gottfried Wilhelm Leibniz, consiste en l'usage des notations « d droit » (d) suivies d'une quantité x pour représenter une variation infinitésimale de x, de même que « delta » (Δ) sert à représenter une variation finie. Par extension, c'est une notation couramment utilisée pour écrire les dérivées.

Portrait de Gottfried Wilhelm Leibniz

En physique, cette notation est interprétée comme une modification infinitésimale (de position, de vitesse...) ou un échantillon infinitésimal (de longueur, de surface, de volume...).

Détails

Pour Leibniz, la dérivée de y par rapport à x, qui s'écrit en termes modernes comme la limite :

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}

était le quotient d'un incrément infinitésimal de y par un incrément infinitésimal de x.

Sa notation est encore utilisée : pour une fonction dérivable $x\mapsto y=f(x)$ ,

f'(x)={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}(x)

De façon similaire, l’intégrale de la fonction $f$ sur l’intervalle $\left[a,b\right]$ , aujourd'hui définie par :

\lim _{\Delta _{i}x\to 0}{\sum _{n}{f(x_{n})\,{\Delta _{n}x}}}

avec

{\Delta _{n}x}=x_{n+1}-x_{n}\geq 0,\ \sum _{n}{\Delta _{n}x}=b-a,\ x_{0}=a

était interprétée par Leibniz comme la somme d'une infinité de quantités infinitésimales. En utilisant la lettre ſ (S long) pour noter cette somme, cela donna la notation moderne de l'intégrale :

\int f\left(x\right)\;\mathrm {d} x

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