Analyse non standard

Soit R(x, y) une relation « classique ». Par relation classique, on entend une relation ne faisant pas intervenir le nouveau prédicat « standard » dans son énoncé. Il s'agit donc d'une relation usuelle de nos mathématiques de tous les jours.

L'axiome d'idéalisation affirme que les deux propositions suivantes sont équivalentes :

1. Pour chaque ensemble standard fini F, il existe x (noté dans la suite ${\displaystyle x_{F}}$) tel que R(x, y) pour tous les y appartenant à F ;
2. Il existe x tel que R(x, y) pour tout y standard.

L'axiome signifie que, pour trouver un x qui vérifie une propriété relative à tous les y standard, il suffit qu'on puisse trouver un tel x relatif aux éléments y de n'importe quel ensemble standard fini.

Nous voulons montrer que : il existe x entier, tel que, pour tout y standard entier, x > y. Soit donc R(x, y) défini par : x est entier et y est entier et x > y. La proposition 1 de l'axiome d'idéalisation est bien vérifiée : si F est fini, il existe bien un entier x supérieur aux entiers y éléments de F. Par conséquent, l'axiome d'idéalisation énonce que la proposition 2 est aussi vérifiée et celle-ci correspond à notre énoncé.

Il existe donc un entier x supérieur à tous les nombres entiers standard. Cet entier sera donc non standard, sinon, il serait supérieur à lui-même. Nous venons donc de montrer qu'il existe au moins un entier non standard.

Les entiers supérieurs à x sont a fortiori non standard, sinon, x leur serait supérieur. Pour cette raison, dans l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {N} }$ des entiers, les entiers non standard sont également qualifiés d'inaccessibles, ou d'illimités, ou d'infiniment grands. Le terme « illimité » étant mal adapté, nous préférons donc le terme d'inaccessible ou d'infiniment grand. Les entiers non standard sont aussi appelés hypernaturels.

Considérons la relation x différent de y dans un ensemble E infini. Pour chaque partie finie standard F, il existe un élément x noté ${\displaystyle x_{F}}$ appartenant à E tel que x soit différent de y pour tout y appartenant à F, puisque E est infini.

L'axiome d'idéalisation fournit alors l'existence d'un élément x appartenant à E et différent de tous les éléments standard y appartenant à E ; x est évidemment non standard.

On en déduit la propriété suivante :

Dans tout ensemble infini, il existe au moins un élément non standard.

et par contraposition :

Si tous les éléments d'un ensemble sont standard, cet ensemble E est fini.

Ce théorème énonce que, si E est un ensemble, il existe une partie finie X de E contenant tous les éléments standard de E. Cependant, on ne peut en conclure que les éléments standard d'un ensemble quelconque ont une cardinalité finie, puisque les éléments standard ne constituent pas un ensemble. On définit pour cela la relation R(X, y) suivante : X est inclus dans E, X est fini et si y est élément de E, alors y est élément de X.

La proposition 1 de l'axiome d'idéalisation est bien vérifée pour toute partie finie F (standard ou non d'ailleurs) en prenant pour X l'intersection de F et E. Par conséquent, la proposition 2 de l'axiome d'idéalisation permet de valider le théorème de Nelson.

La partie X donnée par l'axiome est une partie interne ou classique. Elle ne se limite pas nécessairement aux seuls éléments standard de E, car, a priori, la collection des éléments standard, définie à partir de la relation non classique « être standard » est un objet externe, c'est-à-dire étranger aux mathématiques usuelles. En effet, la relation « être standard » ne fait pas partie des relations auxquelles s'appliquent les axiomes de ZFC, ce qui veut dire qu'il n'existe pas d'ensemble ne contenant que les entiers standard. Ainsi, dans les entiers, un ensemble X contenant tous les entiers standard est de la forme {0, 1, 2, …, n} avec n non standard, et cet ensemble contient aussi des entiers non standard.

Dès que tous les paramètres ${\displaystyle E_{i}}$ d'une formule classique F ont des valeurs standard :

Pour tout x standard, F(x, ${\displaystyle E_{1}}$, …, ${\displaystyle E_{n}}$) si et seulement si pour tout x, F(x, ${\displaystyle E_{1}}$, …, ${\displaystyle E_{n}}$)

Autrement dit, pour vérifier qu'une formule usuelle dépendant de paramètres standard est vraie pour tout x, il suffit de la vérifier pour tout x standard. Intuitivement, nous ne pouvons accéder qu'aux éléments standard, et ce sont eux qui nous permettront de vérifier une formule classique. Cet axiome peut aussi s'exprimer (par négation) :

Il existe x standard, F(x, ${\displaystyle E_{1}}$, ..., ${\displaystyle E_{n}}$) si et seulement s’il existe x, F(x, ${\displaystyle E_{1}}$, ..., ${\displaystyle E_{n}}$)

Si une propriété classique est vraie pour un x, alors elle est vraie pour un x standard. En voici quelques conséquences. La plus importante est le fait que si un objet mathématique est défini de façon classique de manière unique à partir d'objets standard, il est nécessairement standard. C'est donc le cas de ${\displaystyle \varnothing ,0,1,2,\pi ,e,i,\mathbb {N} ,\mathbb {R} ^{n}}$ pour n standard. De même, si E et F sont des ensembles standard, il en est de même de leur intersection, de leur réunion, de leur produit, de l'ensemble des applications de E dans F, de l'ensemble des parties de E. Si a et b sont deux nombres standard, il en est de même de ab, a+b, a–b, a/b, etc. Si n est standard, il en est de même de n+1 ou de I_n = {1, ..., n}. Si A est une partie standard de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bornée, Sup A et Inf A sont standard. Si f est une fonction standard (c’est-à-dire définie sur des ensembles standard et de graphe standard), alors l'image d'un élément standard est standard.

Enfin, cet axiome permet de montrer que, pour voir que deux ensembles standard sont égaux, il suffit de vérifier qu'ils possèdent les mêmes éléments standard. Ainsi, la seule partie standard de ${\displaystyle \mathbb {N} }$ contenant tous les entiers standard est ${\displaystyle \mathbb {N} }$ lui-même. Par contre, il existe des parties non standard contenant tous les entiers standard, à savoir les parties {0, 1, 2, ..., n} avec n non standard.

Soit E un ensemble standard, soit P une propriété quelconque, faisant ou non intervenir le postulat « standard ». Alors :

Cet axiome ne présente d'intérêt que si la propriété P est non classique (elle utilise le postulat « standard »). L'ensemble A n'est autre qu'un ensemble standard dont les éléments standard sont les éléments standard de E vérifiant la propriété P. Il se peut que A possède d'autres éléments, mais ils seront non standard. Par ailleurs, un ensemble standard étant défini de manière unique par ses éléments standard, il en résulte que A est unique. On l'appelle le standardisé de la collection {x élément de E | P(x)} qui, a priori, n'est pas un ensemble au sens ZFC. L'interprétation intuitive qu'on peut donner à cet axiome est le suivant : la collection {x élément de E | P(x)} ne nous est pas directement accessible. Nous ne pouvons concevoir que son standardisé. Nous insistons sur le fait que, si la propriété P utilise le postulat « standard », cette propriété est étrangère à l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel (puisque le mot « standard » ne fait pas partie de cette axiomatique), et donc que la collection {x élément de E | P(x)} n'est pas un ensemble au sens de Zermelo-Fraenkel, c'est pourquoi nous la qualifions de collection (plus techniquement, la propriété P n'est pas nécessairement collectivisante, et la notation {x élément de E | P(x)} est formellement aussi illégale que le serait, par exemple, {x | x=x} pour désigner l'ensemble de tous les ensembles).

Par exemple, considérons E = ${\displaystyle \mathbb {N} }$, et P(x) la propriété x est standard. La collection {x élément de E | P(x)} est la collection des éléments standard. Son standardisé est un ensemble standard contenant tous les éléments standard de ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Nous avons déjà vu qu'il s'agissait de ${\displaystyle \mathbb {N} }$ lui-même.

Considérons maintenant E = ${\displaystyle \mathbb {N} }$, et P(x) la propriété x est non standard. La collection {x élément de E | P(x)} est la collection des éléments non standard. Son standardisé est l'ensemble vide.

Rappelons que nous qualifions d'internes ou classiques les propriétés ou les ensembles n'utilisant pas le mot « standard ». Nous appelons externes ou non classiques les propriétés utilisant ce mot. Toutes les propriétés connues classiques restent valides en Analyse non standard. Ainsi, ${\displaystyle \mathbb {N} }$ vérifie l'axiome de récurrence, pourvu que cet axiome soit appliqué à une propriété classique.

En revanche, le prédicat standard étant non classique, l'axiome de récurrence ne s'y applique pas. Ainsi, 0 est standard ; si n est standard, n + 1 aussi. Cependant, il existe des entiers non standard supérieurs à tous les entiers standard. De tels entiers non standard sont appelés infiniment grand.

Tout entier standard est inférieur à tout entier non standard. Si n est non standard, il en est de même des éléments supérieurs à n et de n – 1. On peut voir ${\displaystyle \mathbb {N} }$ comme suit :

0 1 2 3 . . . . . . . . . n-1 n n+1 . . .

entiers standard suivis des entiers non standard

On ne peut parler du plus petit entier non standard, pas plus que du plus grand entier standard, car ces propriétés n'étant pas classiques, elles ne définissent même pas d'ensembles, qui n'ont donc pas, et pour cause, les caractéristiques usuelles des sous-ensembles de ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

Cependant, si P est une propriété quelconque, on montre que ${\displaystyle \mathbb {N} }$ vérifie le principe de récurrence restreint suivant :

On montre qu'on peut partitionner l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ des réels en :

• les infinitésimaux ou infiniment petits, inférieurs en valeur absolue à tout réel standard strictement positif. À part 0, ils sont non standard. x – y infinitésimal est noté x ≈ y. On dit que x et y sont infiniment proches.
• les illimités, supérieur en valeur absolue à tout réel (ou tout entier) standard. Ils sont non standard. Leurs inverses sont infinitésimaux.
• les appréciables.

Les appréciables et les infinitésimaux constituent les réels limités.

Par exemple : 0,000...01 est infiniment petit si le nombre de 0 est un entier infiniment grand. Ce nombre est alors infiniment proche de 0.

Si n est un entier infiniment grand, alors 1/n est infiniment petit.

On montre également que, pour chaque réel limité x, il existe un unique réel °x standard tel que la différence x – °x soit infinitésimale. °x s'appelle partie standard (ou ombre) de x, à laquelle x est adégal.

Par exemple, 0,3333.....333 (où le nombre de 3 est un entier infiniment grand) est un réel limité et même un nombre décimal non standard, dont la partie standard est 1/3.

Tout réel limité se décompose de manière unique sous la forme standard + infinitésimal.

Les réels infiniment proches d'un réel donné constituent le halo de ce réel.

Pour une suite standard ${\displaystyle (a_{n})}$, il y a équivalence entre :

1. la suite ${\displaystyle (a_{n})}$ converge vers l
2. l est standard et, pour tout n infiniment grand, ${\displaystyle a_{n}}$ ≈ l

En effet, si ${\displaystyle (a_{n})}$ est standard et converge vers l, sa limite est standard (par transfert) et vérifie :

pour tout ε > 0, il existe N tel que, pour tout n > N, | ${\displaystyle a_{n}}$ - l | < ε

Par transfert, on a alors :

pour tout ε standard > 0, il existe N standard tel que, pour tout n > N, | ${\displaystyle a_{n}}$ - l | < ε

Si on prend n infiniment grand, n est alors supérieur à N donc | ${\displaystyle a_{n}}$ - l | < ε, et cette inégalité étant vérifiée pour tout ε standard, on a bien ${\displaystyle a_{n}}$ ≈ l

Réciproquement, si, pour tout n infiniment grand, ${\displaystyle a_{n}}$ ≈ l avec l standard, alors :

pour tout ε standard > 0, il existe N tel que, pour tout n > N, | ${\displaystyle a_{n}}$ - l | < ε

Il suffit en effet de prendre N infiniment grand.

et par transfert :

pour tout ε > 0, il existe N tel que, pour tout n > N, | ${\displaystyle a_{n}}$ - l | < ε

ce qui est la définition de la convergence.

On rappelle que l'équivalence énoncée n'est valide que pour les suites standard. Si on définit en effet ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\alpha }$ avec α infiniment petit, alors ${\displaystyle a_{n}}$ ≈ 0 pour tout n et pourtant la suite ${\displaystyle (a_{n})}$ ne converge pas (Il suffit de prendre ε = ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\alpha }$). En fait, l'axiome de transfert ne s'applique pas car la formule « pour tout n > N, | ${\displaystyle a_{n}}$ - l | < ε » fait intervenir des éléments qui ne sont pas standard.

Pour une suite ${\displaystyle (a_{n})}$ standard, il y a équivalence entre :

1. il existe une sous-suite de ${\displaystyle (a_{n})}$ qui converge vers l ;
2. l est standard et il existe n illimité tel que ${\displaystyle a_{n}}$ ≈ l.

En effet, si l est limite d'une sous-suite de ${\displaystyle (a_{n})}$, alors l est standard par transfert, et pour tout ε > 0, il existe une infinité de n tel que | ${\displaystyle a_{n}}$ - l | < ε. Cette propriété est donc vraie pour ε infiniment petit, et comme elle est vérifiée par une infinité de n et qu'il n'existe qu'un nombre fini d'entiers standard, il existe donc n infiniment grand tel que | ${\displaystyle a_{n}}$ - l | < ε. Mais comme ε est infiniment petit, cela signifie que ${\displaystyle a_{n}}$ ≈ l.

Réciproquement, s'il existe n illimité tel que ${\displaystyle a_{n}}$ ≈ l, alors :

pour tout ε standard > 0, pour tout N standard, il existe n > N, | ${\displaystyle a_{n}}$ – l | < ε

et par transfert :

pour tout ε > 0, pour tout N, il existe n > N, | ${\displaystyle a_{n}}$ – l | < ε

ce qui exprime que l est valeur d'adhérence de la suite ${\displaystyle (a_{n})}$ et dans ce cas, il existe bien une sous-suite de ${\displaystyle (a_{n})}$ qui converge.

On en déduit le théorème de Bolzano-Weierstrass, qui exprime, que, de toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite qui converge. Par transfert, il suffit de montrer ce théorème sur les suites standard. Soit donc ${\displaystyle (a_{n})}$ une suite standard bornée. Tous ses termes sont limités car, par transfert, on peut prendre un majorant et un minorant de ${\displaystyle (a_{n})}$ standard. On prend alors n illimité et l = °${\displaystyle a_{n}}$ partie standard de ${\displaystyle a_{n}}$. On applique alors l'équivalence montrée précédemment, la propriété 2 étant vérifiée.

Pour une suite ${\displaystyle (a_{n})}$ standard, il y a équivalence entre :

1. ${\displaystyle (a_{n})}$ est une suite de Cauchy
2. pour tout n et p illimités, ${\displaystyle a_{n}}$ ≈ ${\displaystyle a_{p}}$

La démonstration suit une démarche comparable à celles des paragraphes précédents.

Montrons que, dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, toute suite de Cauchy converge. Par transfert, il suffit de montrer cette propriété sur les suites standard. Soit ${\displaystyle (a_{n})}$ une telle suite. Elle est bornée : en effet, il n'y a qu'un nombre fini d'entiers standard, et tous les ${\displaystyle a_{n}}$ avec n illimités sont dans le même halo de l'un d'entre eux. Par transfert, la borne peut être choisie standard. Tous les termes de la suite sont donc limités. On prend alors l = °${\displaystyle a_{p}}$ partie standard de ${\displaystyle a_{p}}$ avec p illimité. Alors, pour tout n illimité, ${\displaystyle a_{n}}$ ≈ ${\displaystyle a_{p}}$ ≈ l, donc la suite converge vers l.

La continuité d'une fonction dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ se définit plus simplement avec l'analyse non standard. Pour une fonction standard, il y a équivalence entre

1. ${\displaystyle f}$ est continue
2. pour tout ${\displaystyle y}$ infiniment petit et pour tout ${\displaystyle x}$ standard, ${\displaystyle f(x+y)}$ est infiniment proche de ${\displaystyle f(x)}$.

On montre le théorème des valeurs intermédiaires de la façon suivante. Soit f continue sur un segment [a, b] avec f(a) < 0 et f(b) > 0. Alors il existe c entre a et b tel que f(c) = 0. En effet, par transfert, il suffit de montrer ce théorème pour f, a et b standard. Soit N un entier illimité et ${\displaystyle x_{k}=a+k{b-a \over N}}$ pour k entre 0 et N. Si K est le premier k pour lequel ${\displaystyle f(x_{k})\geq 0}$ alors on prendra pour c la partie standard de ${\displaystyle x_{K}}$. On a en effet c infiniment proche de ${\displaystyle x_{K}}$ et de ${\displaystyle x_{K-1}}$, de sorte que f(c) sera infiniment proche du réel positif ou nul ${\displaystyle f(x_{K})}$ et infiniment proche du réel négatif ${\displaystyle f(x_{K-1})}$. Étant standard, f(c) est nul.

On montre d'une façon comparable que f admet un maximum et un minimum.

Pour une fonction standard, il y a équivalence entre

1. ${\displaystyle f}$ est uniformément continue
2. pour tout ${\displaystyle y}$ infiniment petit et pour tout ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle f(x+y)}$ est infiniment proche de ${\displaystyle f(x)}$.

Par exemple, la fonction qui à x associe x² est continue, puisque, si x est standard et y infiniment petit, on a :

(x+y)² = x² + 2xy + y² ≈ x² puisque x étant limité, xy est infiniment petit, ainsi que y²

Par contre, cette fonction n'est pas uniformément continue puisque, si x est infiniment grand et si y = 1/x, alors (x+y)² = x² + 2 + y² qui n'est pas infiniment proche de x².

Sur un segment [a, b], toute fonction continue f est uniformément continue. Par transfert, il suffit de montrer cette propriété pour f, a et b standard. Les éléments du segment sont alors tous limités, donc admettent tous une partie standard. Si x est élément de [a, b], °x sa partie standard et y infiniment petit, on a :

f(x+y) = f(°x + z) avec z = y + x - °x infiniment petit

donc f(x+y) ≈ f(°x) ≈ f(x) par continuité de f en °x

Pour une fonction standard définie sur un intervalle standard de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, et pour x₀ standard il y a équivalence entre :

1. f est dérivable en x₀ de dérivée l
2. pour tout x infiniment proche de x₀, ${\displaystyle {{f(x)-f(x_{0})} \over x-x_{0}}}$ ≈ l, avec l standard.

Pour une fonction standard f sur [a, b] = I standard, il y a équivalence entre

1. f intégrable au sens de Riemann
2. pour toute subdivision de [a, b] a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b avec x_i ≈ x_i+1, il existe deux fonctions en escalier φ et ψ relatives à la subdivision de façon que, pour tout x de I, φ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x), et ${\displaystyle \int _{a}^{b}\psi -\phi }$ ≈ 0. On pose alors ${\displaystyle \int _{a}^{b}f}$ la partie standard de ${\displaystyle \int _{a}^{b}\phi }$ ou de ${\displaystyle \int _{a}^{b}\psi }$.

F. Diener, G. Reeb, Analyse Non Standard, Hermann, 1989 (ISBN 9782705661090)

• Modèle non standard de l'arithmétique
• Critique de l'analyse non standard (en)
• Nombre hyperréel
• Théorie des modèles

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• (en) Terence Tao, A cheap version of non-standard analysis