Espace de Wiener

L'espace vectoriel C peut être muni de la norme uniforme

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in [0,T]}|f(t)|}$,

qui en fait un espace vectoriel normé, et même un espace de Banach. Elle induit une métrique sur C : ${\displaystyle d(f,g):=\|f-g\|}$ ; la topologie correspondante est la topologie de la convergence uniforme sur [0, T].

Interprétant le domaine [0, T] comme représentant le temps et Rⁿ comme l'espace, deux fonctions  f et g seront « proches » pour cette topologie si on peut déformer un peu l'espace pour faire coïncider les graphes de f et g en laissant le temps invariant ; ceci contraste avec la topologie de Skorokhod, autorisant à déformer également le temps.

Pour la topologie uniforme, C est séparable et complet :

• la séparabilité est une conséquence du théorème de Stone-Weierstrass ;
• la complétude vient de ce que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est elle-même continue.

En conséquence (comme tout espace de Banach séparable), C est un espace polonais.

Le module de continuité pour une fonction f : [0, T] → Rⁿ est défini par

${\displaystyle \omega _{f}(\delta ):=\sup \left\{|f(s)-f(t)|\left|s,t\in [0,T],|s-t|\leq \delta \right.\right\}.}$

Cette définition a un sens même si f n'est pas continue, et on montre que f est continue si et seulement si son module de continuité tend vers 0 quand δ → 0, autrement dit ${\displaystyle f\in C\iff \omega _{f}(\delta )\to 0}$ quand δ → 0.

En appliquant le théorème d'Ascoli, on peut montrer qu'une suite de mesures de probabilité ${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1}^{\infty }}$ sur C est tendue si et seulement si les deux conditions suivantes sont remplies :

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C||f(0)|\geq a\}=0,}$ et

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C|\omega _{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0}$ pour tout ε > 0.

Il y a une mesure "standard" sur C₀, la mesure de Wiener (parfois dite "mesure de Wiener classique"). On peut la définir à partir du mouvement brownien, considéré comme un processus de Markov B : [0, T] × Ω → Rⁿ, démarrant à l'origine, avec des chemins presque sûrement continus et des incréments indépendants (en) ${\displaystyle B_{t}-B_{s}\sim \mathrm {Normal} \left(0,|t-s|\right);}$ la mesure de Wiener γ est alors la loi (en) du processus B.

Cette mesure est une mesure gaussienne ; en particulier, c'est une mesure de probabilité strictement positive (en).

Partant de la mesure γ sur C₀, la mesure produit γⁿ × γ, où γⁿ note la mesure de Gauss sur Rⁿ , est une mesure de probabilité sur C.

La tribu où la mesure de Wiener est définie ${\displaystyle {\mathcal {B}}(C_{0})=C_{0}\cap {\mathcal {B}}^{[0,T)}(\mathbb {R} ^{n})=\sigma (Y_{t}:t\in [0,T])}$ est la plus petite tribu telle que les applications de coordonnées ${\displaystyle Y_{t}:C_{0}\to \mathbb {R} ^{n},\;y_{t}\mapsto \omega (t)}$ soient mesurables[1].