Tension des mesures

Si X est un espace compact, alors toute famille de mesures (éventuellement complexes) sur X est tendue.

Si X est un espace polonais, alors toute mesure de probabilité sur X est tendue. De plus, par le théorème de Prokhorov, une famille de mesures de probabilité est tendue si et seulement si elle est relativement compacte pour la topologie de la convergence faible des mesures.

Considérons la ligne réelle ${\displaystyle \mathbb {R} }$ munie de la topologie borélienne. Soit ${\displaystyle \delta _{x}}$ la mesure de Dirac ayant une unique masse au point x. La famille

${\displaystyle M_{1}:=\{\delta _{n}|n\in \mathbb {N} \}}$

n'est pas tendue, puisque les sous-ensembles compacts de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sont précisément les ensembles fermés bornés, et ces ensembles ont une masse nulle pour les mesures ${\displaystyle \delta _{n}}$ pour n suffisamment grand.

Cependant, la famille

${\displaystyle M_{2}:=\{\delta _{1/n}|n\in \mathbb {N} \}}$

est tendue, en effet, l'intervalle [0,1] est considéré comme ${\displaystyle K_{\eta }}$ pour tout ${\displaystyle \eta >0}$. En général, une famille de mesures de Dirac sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est tendue si et seulement si la famille de leur support est bornée.

Considérons l'espace euclidien ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ muni de sa tribu borélienne usuelle. Considérons une famille de mesures gaussiennes :

${\displaystyle \Gamma =\{\gamma _{i}|i\in I\},}$

où la mesure ${\displaystyle \gamma _{i}}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a pour moyenne ${\displaystyle \mu _{i}}$ et pour variance ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$. Alors la famille ${\displaystyle \Gamma }$ est tendue si et seulement si les familles ${\displaystyle \{\mu _{i}|i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ et ${\displaystyle \{\sigma _{i}^{2}|i\in I\}\subseteq \mathbb {R} }$ sont toutes deux bornées.