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Théorème de Prokhorov

En mathématiques, et plus précisément en théorie de la mesure, le théorème de Prokhorov relie le concept de tension à la compacité relative dans l'espace des mesures de probabilité, ou plus généralement des mesures finies. Ce théorème[1] porte le nom du mathématicien Iouri Prokhorov.

Définitions

Soit un espace topologique complètement régulier. Cette hypothèse couvre les deux cas particuliers importants : espace localement compact et espace métrisable.

désigne l'espace de Banach des fonctions continues bornées sur (muni de la norme uniforme) et le sous-espace des fonctions nulles à l'infini (c'est-à-dire les fonctions telles que pour tout , il existe un compact tel que ).

D'après le théorème de représentation de Riesz, le dual de est l'espace des mesures de Radon bornées. Il contient l'ensemble des mesures positives bornées et le sous-ensemble des mesures de probabilité.

On rappelle que :

  • est muni de deux topologies faibles (qui coïncident si est compact) :
    • (topologie faible-*) : la topologie de la convergence simple sur ,
    • (topologie étroite (en)) : la topologie (plus fine) de la convergence simple sur ;
  • le cône convexe est *-faiblement fermé.

Énoncé

Sur un espace complètement régulier, si un ensemble de mesures de probabilité est tendu, alors il est relativement compact[2] pour la topologie étroite.

La réciproque est vraie si l'espace vérifie une hypothèse un peu plus forte comme localement compact ou polonais.

Si l'espace est compact, la tension est trivialement toujours vérifiée en prenant , mais dans ce cas le théorème n'est qu'une expression inutilement compliquée du théorème de Banach-Alaoglu.

Généralisations

Une première généralisation, facile, passe des probabilités aux mesures positives finies :

Sur un espace complètement régulier, si un ensemble de mesures positives finies est tendu et borné (au sens de la norme sur ), alors il est relativement compact pour la topologie étroite.

La réciproque est vraie si l'espace vérifie une hypothèse un peu plus forte, par exemple localement compact ou polonais.

Le théorème est encore vrai si l'on supprime l'hypothèse de positivité :

Sur un espace complètement régulier, si un ensemble de mesures finies est tendu et borné (au sens de la norme sur ), alors il est relativement compact pour la topologie étroite.

La réciproque est vraie si vérifie une hypothèse un peu plus forte, par exemple localement compact ou polonais.

Mais il faut prendre garde que la définition de la tension porte alors non pas sur les mesures elles-mêmes mais sur leurs variations totales . Les démonstrations données ci-dessus ne s'adaptent pas facilement à ce nouveau contexte, car l'application n'est pas étroitement continue.

Exemple : prendre sur les mesures de densité : la suite converge étroitement vers la mesure nulle mais la suite converge vers la mesure de densité constante ; variante : on prend comme précédemment, et ; la suite tend encore étroitement vers la mesure nulle, mais la suite diverge. De plus, les arguments de semi-continuité ne sont plus valables.

Bogachev 2007 donne une démonstration dans le cas où est un espace polonais, et des variantes et contre-exemples. Bourbaki 1969 et Jarchow 1981 donnent des démonstrations dans le cas général où est un espace complètement régulier.

Notes et références

  1. (en) Yuri V. Prokhorov, « Convergence of random processes and limit theorems in probability theory », Theory Probab. Appl., vol. 1, no 2, , p. 157-214 (DOI 10.1137/1101016).
  2. Dans ou, ce qui revient au même, dans , puisque est étroitement fermé.
  • Laurent Schwartz, « Probabilités cylindriques et applications radonifiantes », J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, vol. 18, , p. 139-286, annoncé en 1969 dans une note aux CRAS
  • (en) Laurent Schwartz, Radon Measures on Arbitrary Topological Spaces and Cylindrical Measures, Oxford University Press, coll. « Tata Institute Monographs on Mathematics and Physics »,
  • Bourbaki, intégration chapitre 9 §5, Springer,
  • (en) V. I. Bogachev, Measure Theory, vol. 2, Springer,
  • (en) Hans Jarchow, Locally convex spaces, Teubner,
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