Théorème de Prokhorov

Sens direct.

Toute fonction continue bornée sur ${\displaystyle \Omega }$ se prolonge de façon unique en une fonction continue sur le compactifié de Stone-Čech ${\displaystyle {\check {\Omega }}}$, et toute mesure de Radon bornée sur ${\displaystyle \Omega }$ se prolonge en une mesure de Radon sur ${\displaystyle {\check {\Omega }}}$ (mais il y a des mesures sur ${\displaystyle {\check {\Omega }}}$ qui ne sont pas associées à des mesures sur ${\displaystyle \Omega }$). La boule unité de ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{b}({\check {\Omega }})}$ est étroitement compacte (ou *-faiblement : les deux topologies coïncident puisque ${\displaystyle {\check {\Omega }}}$ est compact), il suffit donc de montrer que la condition de Prokhorov implique que l'adhérence étroite ${\displaystyle {\overline {M}}}$ de ${\displaystyle M}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{b}({\check {\Omega }})}$ est contenue dans ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{b}(\Omega )}$.

Pour tout compact ${\displaystyle K\subset \Omega }$ la fonction indicatrice ${\displaystyle 1_{K}}$ est « s.c.s. » (semi-continue supérieurement) et bornée, donc enveloppe inférieure de fonctions continues bornées sur ${\displaystyle \Omega }$, donc de fonctions continues ${\displaystyle \phi _{i}}$ sur ${\displaystyle {\check {\Omega }}}$ ; la fonction ${\displaystyle \psi _{K}:\mu \mapsto \psi _{K}(\mu )=\mu (K)}$ est donc s.c.s. sur ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{b}^{+}({\check {\Omega }})}$ comme enveloppe inférieure des ${\displaystyle \mu \mapsto \mu (\phi _{i})}$.

Appliquons cela à l'un des ${\displaystyle K_{\epsilon }}$ de l'énoncé. Soit ${\displaystyle \mu \in {\overline {M}}}$. Il existe un voisinage ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle \mu }$ tel que ${\displaystyle \forall \lambda \in V\quad \lambda (K_{\epsilon })<\mu (K_{\epsilon })+\epsilon }$, or ce voisinage rencontre ${\displaystyle M}$, donc contient une probabilité ${\displaystyle \lambda }$ telle que ${\displaystyle \lambda (K_{\epsilon })>1-\epsilon }$, donc ${\displaystyle \mu (K_{\epsilon })>1-2\epsilon }$.

Par conséquent, en prenant successivement ${\displaystyle \epsilon =1/n}$, on obtient ${\displaystyle \forall n\quad \mu (\Omega )\geqslant 1-2/n}$ donc ${\displaystyle \mu (\Omega )=1}$.

Réciproque : démonstration pour ${\displaystyle \Omega }$ localement compact.

Soit ${\displaystyle A}$ une partie compacte de ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, et soit ${\displaystyle \epsilon >0}$. Pour toute probabilité ${\displaystyle \mu \in A}$ il existe un compact ${\displaystyle K_{\mu }\subset \Omega }$ tel que ${\displaystyle \mu (K_{\mu })>1-\epsilon }$. Comme ${\displaystyle \Omega }$ est localement compact, ${\displaystyle K_{\mu }}$ a un voisinage ouvert ${\displaystyle U_{\mu }}$ d'adhérence compacte.

Le complémentaire ${\displaystyle F_{\mu }}$ de ${\displaystyle U_{\mu }}$ est un fermé tel que ${\displaystyle \mu (F_{\mu })<\epsilon }$, et l'application ${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda (F_{\mu })}$ est s.c.s. donc il existe un voisinage ouvert ${\displaystyle V_{\mu }}$ de ${\displaystyle \mu }$ tel que ${\displaystyle \forall \lambda \in V_{\mu }\quad \lambda (F_{\mu })<\epsilon }$. Les ${\displaystyle V_{\mu }}$ sont un recouvrement ouvert de ${\displaystyle A}$, on peut en extraire un sous recouvrement fini par ${\displaystyle V_{\mu _{1}},\dots ,V_{\mu _{n}}}$. La réunion des ${\displaystyle {\overline {U}}_{\mu _{i}},i=1\dots n}$ est un compact ${\displaystyle K}$ tel que ${\displaystyle \forall \mu \in A\quad \mu (K)>1-\epsilon }$.

C'est une simple adaptation de la démonstration pour les probabilités :

Sens direct.

Soit ${\displaystyle R}$ tel que ${\displaystyle \forall \mu \in M\quad \Vert \mu \Vert \leqslant R}$ (${\displaystyle M}$ est bornée, donc il existe de tels ${\displaystyle R}$).

La boule fermée de rayon ${\displaystyle R}$ de ${\displaystyle {\mathcal {M}}({\check {\Omega }})}$ est vaguement compacte, il suffit donc de montrer que la condition de Prokhorov implique que l'adhérence étroite ${\displaystyle {\overline {M}}}$ de ${\displaystyle M}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {M}}({\check {\Omega }})}$ est contenue dans ${\displaystyle {\mathcal {M}}(\Omega )}$.

Soit ${\displaystyle \epsilon >0}$ et ${\displaystyle K_{\epsilon }}$ le compact associé. L'application ${\displaystyle \lambda \mapsto {\lambda }({\check {\Omega }}\setminus K_{\epsilon })}$ est semi-continue inférieurement sur ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{b}^{+}({\check {\Omega }})}$, donc pour toute mesure ${\displaystyle \mu \in M}$, il existe un voisinage (étroit) ouvert de ${\displaystyle \mu }$ tel que ${\displaystyle \forall \lambda \in V_{\mu }\quad {\lambda }({\check {\Omega }}\setminus K_{\epsilon })>\mu ({\check {\Omega }}\setminus K_{\epsilon })-\epsilon }$, et il existe ${\displaystyle \lambda \in V_{\mu }\cap M}$, qui vérifie donc ${\displaystyle {\lambda }({\check {\Omega }}\setminus K_{\epsilon })={\lambda }(\Omega \setminus K_{\epsilon })<\epsilon }$ (en effet ${\displaystyle \lambda }$ est portée par ${\displaystyle \Omega }$). On en déduit ${\displaystyle \mu ({\check {\Omega }}\setminus K_{\epsilon })<2\epsilon }$.

On sait que ${\displaystyle \forall K\subset \Omega ,\mu ({\check {\Omega }}\setminus \Omega )\leqslant \mu ({\check {\Omega }}\setminus K)}$ ; en appliquant cela pour tous les ${\displaystyle \epsilon =1/2^{n}}$, on obtient ${\displaystyle \mu ({\check {\Omega }}\setminus \Omega )=0}$.

Réciproque : démonstration pour ${\displaystyle \Omega }$ localement compact.

Soit ${\displaystyle A}$ étroitement compact dans ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{b}^{+}(\Omega )}$.

Soit ${\displaystyle \epsilon >0}$ ; pour toute ${\displaystyle \mu \in A}$ il existe un compact ${\displaystyle K_{\mu }}$ tel que ${\displaystyle \mu (\Omega \setminus K_{\mu })<\epsilon }$.

Comme ${\displaystyle \Omega }$ est localement compact, ${\displaystyle K_{\mu }}$ a un voisinage ouvert ${\displaystyle U_{\mu }}$ d'adhérence compacte.

Le complémentaire ${\displaystyle F_{\mu }}$ de ${\displaystyle U_{\mu }}$ est un fermé tel que ${\displaystyle \mu (F_{\mu })<\epsilon }$, et l'application ${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda (F_{\mu })}$ est s.c.s., donc il existe un voisinage ouvert ${\displaystyle V_{\mu }}$ de ${\displaystyle \mu }$ tel que ${\displaystyle \forall \lambda \in V_{\mu }\quad \lambda (F_{\mu })<\epsilon }$. Les ${\displaystyle V_{\mu }}$ sont un recouvrement ouvert de ${\displaystyle A}$, on peut en extraire un sous recouvrement fini par ${\displaystyle V_{\mu _{1}},\dots ,V_{\mu _{n}}}$.

La réunion des ${\displaystyle {\overline {U}}_{\mu _{i}},i=1\dots n}$ est un compact ${\displaystyle K}$ tel que ${\displaystyle \forall \mu \in A\quad \mu (\Omega \setminus K)<\epsilon }$.

${\displaystyle A}$ est borné car ${\displaystyle \forall \mu \in {\mathcal {M}}_{b}^{+}(\Omega ),\Vert \mu \Vert =\mu (1)}$ ; la fonction constante 1 étant évidemment continue bornée sur ${\displaystyle \Omega }$, l'ensemble des ${\displaystyle \mu (1)}$ lorsque ${\displaystyle \mu }$ parcourt le compact étroit ${\displaystyle A}$ est borné.