Axiomes des probabilités

On appelle évènements les éléments de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Pour tout événement ${\displaystyle \ A}$ :

${\displaystyle 0\leq \mathbb {P} (A)\leq 1.}$

C'est-à-dire que la probabilité d'un événement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

${\displaystyle \ \Omega }$ désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire considérée,

${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=1}$,

C'est-à-dire que la probabilité de l'événement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des événements élémentaires est égale à 1.

Toute famille dénombrable d'événements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), ${\displaystyle A_{1},\,A_{2},\dots }$ satisfait :

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\sum _{i=1}^{+\infty }\mathbb {P} (A_{i})}$.

C'est-à-dire que la probabilité d'un événement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'événements est égale à la somme des probabilités de ces événements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les événements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).

À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :

• ${\displaystyle \mathbb {P} (\emptyset )=0.}$

Démonstration

Utilisons le 3^e axiome avec ${\displaystyle A_{k}=\emptyset \ }$ pour tout ${\displaystyle k.\ }$ On obtient

${\displaystyle \mathbb {P} (\emptyset )=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} (\emptyset ),}$

relation qui n'est pas satisfaite si ${\displaystyle \mathbb {P} (\emptyset )\in ]0,1],\ }$ puisqu'alors le terme de droite vaut ${\displaystyle +\infty .\ }$ Donc il ne reste que ${\displaystyle \mathbb {P} (\emptyset )=0,\ }$ qui d'ailleurs convient.

Remarque : en particulier, cela interdit à l'univers d'être vide, le deuxième axiome exigeant que sa mesure vaille 1 (et ne soit donc pas nulle a fortiori).

• Si ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ sont deux événements incompatibles (ou disjoints), alors

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B).}$

• Plus généralement, si ${\displaystyle (A_{k})_{1\leq k\leq n}}$ est une famille d'événements 2 à 2 incompatibles, alors

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}\right)=\sum _{1\leq k\leq n}\mathbb {P} (A_{k}).}$

Démonstration

Utilisons le 3^e axiome avec ${\displaystyle A_{k}=\emptyset \ }$ pour tout ${\displaystyle k\geq n+1.\ }$ On obtient bien une suite d'événements incompatibles 2 à 2 tels que

${\displaystyle \bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}=\bigcup _{k\geq 1}A_{k},}$

donc

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq 1}A_{k}\right),}$

mais en vertu du troisième axiome

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq 1}A_{k}\right)=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} \left(A_{k}\right)}$

et finalement, puisque pour tout ${\displaystyle k\geq n+1,\ }$ ${\displaystyle \mathbb {P} \left(A_{k}\right)=\mathbb {P} \left(\emptyset \right)=0,\ }$ on obtient le résultat désiré.

• ${\displaystyle \mathbb {P} (B\setminus A)=\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)}$;

Cette relation signifie que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence ${\displaystyle \mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)}$. Cette relation découle de ce que B est réunion disjointe de ${\displaystyle B\setminus A}$ et de ${\displaystyle A\cap B.}$

• En particulier, si ${\displaystyle A\subset B}$, alors

${\displaystyle \mathbb {P} (A)\leq \mathbb {P} (B)}$

C'est la propriété de croissance de la probabilité. En effet, dans le cas particulier où ${\displaystyle A\subset B}$, la propriété précédente s'écrit

${\displaystyle \mathbb {P} (B\setminus A)=\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A),\ }$ où le premier terme est clairement positif ou nul.

• Dans le cas particulier où ${\displaystyle B=\Omega ,}$ cela donne que, pour tout événement ${\displaystyle A}$,

${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega \setminus A)=1-\mathbb {P} (A)}$

Ceci signifie que la probabilité pour qu'un événement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ; cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'événement contraire que celle de l'événement lui-même.

• Pour tous événements ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$,

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)\ \leq \ \mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B).}$

Ceci signifie que la probabilité pour que l'un au moins des événements ${\displaystyle A}$ ou ${\displaystyle B}$ se réalise est égale à la somme des probabilités pour que ${\displaystyle A}$ se réalise, et pour que ${\displaystyle B}$ se réalise, moins la probabilité pour que ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ se réalisent simultanément. De même,

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B\cup C)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)+\mathbb {P} (C)-\mathbb {P} (B\cap C)-\mathbb {P} (C\cap A)-\mathbb {P} (A\cap B)+\mathbb {P} (A\cap B\cap C).}$

• Ces deux dernières formules sont des cas particuliers (n=2,3) du principe d'inclusion-exclusion qui porte parfois le nom de "formule du crible de Poincaré":

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\,\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\,\right)=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k-1}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}\mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap \ldots \cap A_{i_{k}}\right)\right),}$

qui donne la probabilité de la réunion de n ensembles non nécessairement disjoints.

• Par récurrence, l'inégalité obtenue pour n=2 se généralise :

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\,\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\,\right)\leq \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} \left(A_{k}\right).}$

• Toute suite croissante d'événements ${\displaystyle A_{1}\,\subset \,A_{2}\,\subset \,A_{3}\,\subset \,\dots }$ satisfait :

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n}).}$

C'est-à-dire que la probabilité de la limite d'une suite croissante d'événements (qui est dans ce cas la réunion - dénombrable - de tous les événements de cette suite) est égale à la limite de la suite numérique des probabilités de ces événements.

Démonstration

On pose

${\displaystyle B_{1}=A_{1}\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 2,\ B_{n}=A_{n}\backslash A_{n-1}.}$

Alors les ${\displaystyle B_{i}}$ sont disjoints et vérifient

${\displaystyle \bigcup _{n\geq 1}B_{n}=\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 1,\ \bigcup _{k=1}^{n}B_{k}=A_{n}.}$

Les propriétés de σ-additivité et d'additivité, respectivement, entrainent alors que

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\mathbb {P} (B_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 1,\ \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (B_{k})=\mathbb {P} (A_{n}).}$

Alors ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n})}$ n'est autre que la définition de la somme d'une série comme limite de ses sommes partielles.

• Toute suite décroissante d'événements ${\displaystyle A_{1}\,\supset \,A_{2}\,\supset \,A_{3}\,\supset \,\dots }$ satisfait :

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n}).}$

C'est-à-dire que la probabilité de la limite d'une suite décroissante d'événements (qui est dans ce cas l'intersection - dénombrable - de tous les événements de cette suite) est égale à la limite de la suite numérique des probabilités de ces événements.

• Inégalité de Boole. Toute suite d'événements ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\dots }$ satisfait :

${\displaystyle \mathbb {P} (B_{1}\cup B_{2}\cup \cdots )\leq \sum _{n}\mathbb {P} (B_{n}).}$

Démonstration

On pose

${\displaystyle A_{n}=B_{1}\cup B_{2}\cup \dots \cup B_{n}=\bigcup _{k=1}^{n}B_{k}.}$

Alors les ${\displaystyle A_{i}}$ forment une suite croissante et

${\displaystyle \bigcup _{n\geq 1}A_{n}=\bigcup _{n\geq 1}B_{n}.}$

Par ailleurs, on a vu plus haut que

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{n})\leq \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (B_{k}),}$

donc

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}B_{n}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)&=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n})\\&\leq \lim _{n}\sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (B_{k})\\&=\sum _{n\geq 1}\mathbb {P} (B_{n}).\end{aligned}}}$

• Signalons deux conséquences importantes de l'inégalité de Boole :
  • Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles négligeables est elle-même négligeable ;
  • Une intersection finie ou dénombrable d'ensembles presque sûrs est elle-même presque sûre.

De manière équivalente, on définit plus simplement le triplet ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ représentant un espace probabilisé, comme un espace mesuré dont la mesure, ${\displaystyle \mathbb {P} }$, a la particularité d'avoir une masse totale égale à 1 :

${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=1.}$