Inégalité de Boole

• Première démonstration.

On traite d'abord, par récurrence, le cas d'une famille finie ${\displaystyle (A_{1},\dots ,A_{m})}$ d'évènements.

Il s'agit de prouver que ${\displaystyle \mathbb {P} \left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{m}\right)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})}$.

L'inégalité est vraie au rang ${\displaystyle m=1}$. On la suppose vraie à un rang ${\displaystyle m}$ et l'on considère une famille ${\displaystyle (A_{1},\dots ,A_{m+1})}$ de ${\displaystyle m+1}$ évènements.

Soit ${\displaystyle E=A_{1}\cup \cdots \cup A_{m}}$ : ${\displaystyle \mathbb {P} (E)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})}$ (hypothèse de récurrence).

Alors : ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{m+1})=\mathbb {P} (E\cup A_{m+1})=\mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{m+1})-\mathbb {P} (E\cap A_{m+1})}$,

d'où : ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{m+1})\leq \mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{m+1})\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})+\mathbb {P} (A_{m+1})}$.

On traite maintenant le cas d'une suite dénombrable ${\displaystyle (A_{n})_{n\geq 1}}$ d'évènements.

Pour tout entier strictement positif ${\displaystyle n}$, soit ${\displaystyle E_{n}=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}}$ ; alors ${\displaystyle \mathbb {P} (E_{n})\leq \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (A_{k})}$.

L'inégalité de Boole en découle par passage à la limite sur ${\displaystyle n}$ ; en effet, ${\displaystyle \bigcup _{n\geq 1}E_{n}=\bigcup _{n\geq 1}A_{n}}$ et pour tout ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle E_{n}\subset E_{n+1}}$, donc ${\displaystyle \lim \mathbb {P} (E_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)}$.

• Autre méthode (traitant à la fois le cas fini et le cas dénombrable).

On pose ${\displaystyle \ A'_{1}=A_{1}}$ et pour tout ${\displaystyle n\geq 2}$, ${\displaystyle A'_{n}=A_{n}\setminus (A_{1}\cup \cdots \cup A_{n-1})}$.

Alors ${\displaystyle \bigcup _{n}A_{n}=\bigcup _{n}A'_{n}}$, et les évènements ${\displaystyle A'_{1},A'_{2},\dots }$ sont deux à deux incompatibles ;
en outre, pour tout ${\displaystyle n,A'_{n}\subset A_{n}}$, donc ${\displaystyle \mathbb {P} (A'_{n})\leq \mathbb {P} (A_{n})}$ (croissance de ${\displaystyle \mathbb {P} }$).

De tout ceci, il résulte : ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A'_{n}\right)=\sum _{n}\mathbb {P} (A'_{n})\leq \sum _{n}\mathbb {P} (A_{n})}$.