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Inégalité de Boole

En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole affirme que, pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité que au moins l'un des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement,

Inégalité de Boole Pour une famille au plus dénombrable d'événements A1, A2, A3, …, on a :

En termes de la théorie de la mesure, l'inégalité de Boole exprime le fait qu'une mesure de probabilité est σ-sous-additive (comme toute mesure).

Conséquence L'intersection d'une famille finie ou dénombrable d'évènements presque certains, B1, B2, B3, …, est presque certaine (il suffit d'appliquer l'inégalité de Boole aux complémentaires des Bn).

Inégalités de Bonferroni

Les inégalités de Bonferroni, dues à Carlo Emilio Bonferroni, généralisent l'inégalité de Boole. Elles fournissent des majorants et des minorants de la probabilité d'unions finies d'événements.

Inégalités de Bonferroni Posons :

et pour 2 < kn,

où la somme est effectuée sur tous les k-uplets strictement croissants d'entiers compris entre 1 et n.

Alors pour tout entier impair k tel que 1 ≤ kn

et pour tout entier pair k tel que 2 ≤ kn

On retrouve l'inégalité de Boole pour k = 1.

Références

Cet article est élaboré à partir d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais, lui-même tiré d'un article de PlanetMath, disponible sous GFDL.

Voir aussi

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